Mixed and compatible finite elements in the analysis problem of elastoplastic structures

A problem of ideal elastoplastic structures stress-strain field determination is considered The dual general and discrete mathematical models of analysis problem are made on the basis of the extremal energy principles and finite element method. In these models the possible discontinuity of displacements and the dissipation of energy in the place of those discontinuities, also the different external effects (load, initial strains and support settlements) are estimated. At first, on the basis of the mixed functional and mixed finite elements the discrete expressions of fundamental relationships (geometric equations, yield conditions) and the discrete mathematical model of mixed formulation of the problem are made. This mathematical model corresponds to the minimum total energy principle for a kinematically admissible displacements. The dual static formulation of the problem is obtained by Lagrange's multipliers method; this corresponds to the minimum complementary energy principle. The kinematic formulation of the problem is obtained in the case of linear yield conditions. These mathematical models permit to determine the lower values of the stress and displacements of structures. It has shown that the approximation of geometric equations and yield conditions by Bubnov-Galiorkin's collocation method gives the more accurate results. Mišrieji ir darnieji baigtiniai elementai tamprių-plastinių konstrukcijų analizės uždaviniuose Santrauka Nagrinėjami idealiai tamprių-plastinių konstrukcijų, veikiamų ivairių išorinių poveikių (apkrovos, išankstinio deformavimo, atramų sėdimo), įtempimių-deformacijų būvio analizės uždaviniai. Juose nustatomi konstrukcijos poslinkiai ir įtempimai bei jų liekamosios dalys. Remiantis ekstreminiais energetiniais principais, dualumo teorija ir baigtinių elementių metodu sudaryti dualūs bendri ir diskretiniai šių uždavinų matematiniai modeliai. Jų naujumas— įverrinami galimi poslinkių funkcijų trūkiai ir energijos disipacija plastiniuose paviršiuose tarp baigtinių elementų. Panaudojant mišrųjį energetinį funkcionalą ir mišriuosius baigtinius elementus, pirmiausia sudarytos pagrindinių priklausomybių (geometrinių lygčių, takumo sąlygų) diskretinės išraiškos ir mišrūs diskretiniai uždaviniių matematiniai modeliai. Jie atitinka pilnutinės deformacijų energijos minimumo principui. Duali statinė uždavinių formuluotė sudaroma Lagranžo daugiklių metodu ir atitinka papildomosios energijos minimumo principui. Tiesinių takumo sąlygų atveju, panaudojant mišrius ir geometriškai darnius baigtinius elementus, sudarytos uždavinių kinematinės formuluotės, kuriose nežinomieji yra tik kinematiniai dydžiai. Sudaryti matematiniai modeliai leidžia nustatyti įtempimų ir poslinkių apatines reikšmes. Parodyta, kad iš visų klasikinių kolokacijos metodų, kurie gali būti naudojami geometrinių lygčių ir takumo sąlygų diskretizacijai, tiksliausiai geometrinės lygtys, plastinės deformacijos ir energijos disipacija aproksimuojamos Bubnovo-Galiorkino metodu. Sijos skaičiavimo pavyzdžiu iliustruojamas mišraus ir darnaus baigtinio elemento sudarymas ir panaudojimas tamprių-plastinių konstrukcijų analizei. First Published Online: 26 Jul 201