Numerical analysis of the advection-diffusion of a solute in random media

We consider the problem of numerically approximating the solution of the coupling of the flow equation in a random porous medium, with the advection-diffusion equation. More precisely, we present and analyse a numerical method to compute the mean value of the spread of a solute introduced at the initial time, and the mean value of the macro-dispersion, defined at the temporal derivative of the spread. We propose a Monte-Carlo method to deal with the uncertainty, i.e. with the randomness of the permeability field. The flow equation is solved using finite element. The advection-diffusion equation is seen as a Fokker-Planck equation, and its solution is approximated thanks to a probabilistic particular method. The spread is indeed the expected value of a function of the solution of the corresponding stochastic differential equation, and is computed using an Euler scheme for the stochastic differential equation and a Monte-Carlo method. Error estimates on the mean spread and on the mean dispersion are established, under various assumptions, in particular on the permeability random field.On s'intéresse à l'approximation numérique de la solution du couplage entre l'équation d'écoulement dans un milieu poreux aléatoire et l'équation d'advection-diffusion. Plus précisément, on présente et analyse une méthode numérique pour calculer la valeur moyenne de l'extension d'un soluté introduit au temps initial, et la valeur moyenne de la macro-dispersion, définie comme la dérivée temporelle de l'extension. On propose une méthode de Monte-Carlo pour tenir compte des incertitudes, c'est à dire du caractère aléatoire du champ de perméabilité. L'équation d'écoulement est alors résolue en utilisant des éléments finis. L'équation d'advection-diffusion est vue comme une équation de Fokker-Planck, et sa solution est donc approchée grâce à une méthode particulaire probabiliste. L'extension peut en effet être exprimée comme l'espérance d'une fonction de la solution de l'équation différentielle stochastique correspondante, et est calculée grâce à un schéma d'Euler pour l'équation différentielle stochastique et une méthode de Monte-Carlo. On donne des estimations d'erreur pour l'extension moyenne et la dispersion moyenne, sous différentes hypothèses, en particulier sur le champ de perméabilité