The Cauchy Problem for the Sobolev Type Equation of Higher Order

Of concern is the semilinear mathematical model of ion-acoustic waves in plasma. It is studied via the solvability of the Cauchy problem for an abstract complete semilinear Sobolev type equation of higher order. The theory of relatively polynomially bounded operator pencils, the theory of dierentiable Banach manifolds, and the phase space method are used. Projectors splitting spaces into direct sums and an equation into a system of two equivalent equations are constructed. One of the equations determines the phase space of the initial equation, and its solution is a function with values from the eigenspace of the operator at the highest time derivative. The solution of the second equation is the function with values from the image of the projector. Thus, the sucient conditions were obtained for the solvability of the problem under study. As an application, we consider the fourthorder equation with a singular operator at the highest time derivative, which is in the base of mathematical model of ion-acoustic waves in plasma. Reducing the model problem to an abstract one, we obtain sucient conditions for the existence of a unique solution.В статье исследована полулинейная математическая модель ионно-звуковых волн в плазме на основе разрешимости задачи Коши для абстрактного полного полулинейного уравнения соболевского типа высокого порядка. Используется теория относительно полиномиально ограниченных пучков операторов, теория дифференцируемых банаховых многообразий и метод фазового пространства. Построены проекторы, расщепляющие пространство в прямую сумму, и уравнение на два эквивалентных уравнения. Одно из уравнений определяет фазовое пространство, и его решением является функция со значениями из собственного подпространства оператора при старшей производной по времени. Решением второго уравнения является функция со значениями из образа проектора. Таким образом, были получены достаточные условия разрешимости изучаемой задачи. В качестве приложения рассмотрено уравнение четвертого порядка с сингулярным оператором при старшей производной по времени, лежащее в основе математической модели ионно-звуковых волн в плазме. Редуцировав модельную задачу к абстрактной, были получены достаточные условия существования единственного решения полулинейной математической модели ионно-звуковых волн в плазме