Hoff's Model on a Geometric Graph. Simulations

This article studies numerically the solutions to the Showalter-Sidorov (Cauchy) initial value problem and inverse problems for the generalized Hoff model. Basing on the phase space method and a modified Galerkin method, we develop numerical algorithms to solve initial-boundary value problems and inverse problems for this model and implement them as a software bundle in the symbolic computation package Maple 15.0. Hoff's model describes the dynamics of H-beam construction. Hoff's equation, set up on each edge of a graph, describes the buckling of the H-beam. The inverse problem consists in finding the unknown coefficients using additional measurements, which account for the change of the rate in buckling dynamics at the initial and terminal points of the beam at the initial moment. This investigation rests on the results of the theory of semi-linear Sobolev-type equations, as the initial-boundary value problem for the corresponding system of partial differential equations reduces to the abstract Showalter-Sidorov (Cauchy) problem for the Sobolev-type equation. In each example we calculate the eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm-Liouville operator on the graph and find the solution in the form of the Galerkin sum of a few first eigenfunctions. Software enables us to graph the numerical solution and visualize the phase space of the equations of the specified problems. The results may be useful for specialists in the field of mathematical physics and mathematical modelling.Целью статьи является численное исследование задачи Шоуолтера-Сидорова (Коши) и обратной задачи для обобщенной модели Хоффа. На основе метода фазового пространства и модифицированного метода Галеркина разработаны алгоритмы численного решения начально-краевой и обратной задач для указанной модели и реализована в виде комплекса программ в системе компьютерной математики Maple 15.0. Уравнение Хоффа, заданное на каждом ребре графа, описывает выпучивание двутавровой балки, а модель Хоффа описывает динамику конструкции из двутавровых балок. Обратная задача состоит в определении неизвестных коэффициентов по результатам дополнительных измерений, показывающих изменение скорости динамики выпучивания в начале и конце балки в начальный промежуток времени. Проведенное исследование основано на результатах теории полулинейных уравнений соболевского типа, поскольку начально-краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных сводится к абстрактной задаче Шоуолтера - Сидорова (Коши) для уравнений соболевского типа. В приведенных примерах вычисляются собственные значения и собственные функции для оператора Штурма-Лиувилля на графе, находится решение в виде галеркинской суммы по нескольким первым собственным функциям