Exponential Dichotomies in Barenblatt-Zheltov-Kochina Model in Spaces of Differential Forms with 'Noise'

We investigate stability of solutions in linear stochastic Sobolev type models with the relatively bounded operator in spaces of smooth differential forms defined on smooth compact oriented Riemannian manifolds without boundary. To this end, in the space of differential forms, we use the pseudo-differential Laplace–Beltrami operator instead of the usual Laplace operator. The Cauchy condition and the Showalter–Sidorov condition are used as the initial conditions. Since “white noise” of the model is non-differentiable in the usual sense, we use the derivative of stochastic process in the sense of Nelson–Gliklikh. In order to investigate stability of solutions, we establish existence of exponential dichotomies dividing the space of solutions into stable and unstable invariant subspaces. As an example, we use a stochastic version of the Barenblatt–Zheltov–Kochina equation in the space of differential forms defined on a smooth compact oriented Riemannian manifold without boundary.Исследована устойчивость решений в линейных стохастических моделях соболевского типа с относительно ограниченным оператором в пространствах гладких дифференциальных форм, определенных на гладких компактных ориентированных римановых многообразиях без края. Для этого в пространстве дифференциальных форм используем вместо обычного оператора Лапласа псевдодифференциальный оператор Лапласа - Бельтрами. В качестве начальных использованы условие Коши и условие Шоуолтера - Сидорова. В связи с недифферинцируемостью, в обычном понимании, имеющегося в модели 'белого шума' используем производную стохастического процесса в смысле Нельсона - Гликлиха. Для исследования устойчивости решений устанавливаем наличие экспоненциальных дихотомий разделяющих пространство решений на устойчивое и неустойчивое инвариантные подпространства. В качестве примера используется стохастический вариант уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной в пространстве дифференциальных форм, определенных на гладком компактном ориентированном римановом многообразии без края