Topology Of The Relative Hamiltonian Diffeomorhisms Of Certain Symplectic 4-Manifolds

Amaç ve Gerekçe: Simplektik manifoldlar diferansiyellenebilir manifoldların esnekliğini taşırken bir yandan da cebirsel varyetelerin güzel özelliklerini içlerinde barındırmaktadırlar. Bu özellik simplektik geometri ve topolojiyi çok özel bir konuma getirmişltir. Simplektik geometri ve topoloji 1980'lerde M. Gromov'un getirdiği yenilikler sayesinde büyük bir gelişme kaydetti. J-holomorfik eğrilerin teoerisinin kurulması ile başlayan süreç son otuz yıldır son derece önemli ve heyecan verici gelişmelere yol açtı. Simplektik formun en üst meretebeden kuvveti hacim formunu vermektedir. Bu hacim formunu koruyan difeomorfizmalar uzayının topolojik özellikleri manifoldun topolojisiyle tamamen belirlenir. Diğer taraftan simplektik difeomorfizmalar uzayının topolojisi simplektik formun tipine çok hassastır. Aynı hacim formunu veren iki farklı simplektik forma karşılık gelen simplektik difeomorfizmalar uzayları son derece farklı olabilmektedir. Teorinin büyük bir eksikliği örneklerin fazla olmamasıdır. Malesef çok sınırlı sayıda ayrıntılı örnek bulumaktadır. Örneklerden başlıcaları kompleks projektif uzay ve ‘ruled' yüzeylerdir. Topolojisi anlaşılmış bir çok cebirsel yüzeyin simplektik yapıları henüz keşfedilmemiştir. Diğer eksik bir yön ise simplektik manifoldarın Lagrangian alt manifoldlarını koruyan simplektik difeomorfizma grubunun yeterince araştırılmamış olmasıdır. Bu proje kapsamında kompleks quadratik yüzey üzerindeki simplektik yapıların standard Lagrangian altmanifoldunu koruyan izomofizmaları araştırılacaktır. Malesef j-holomofik kürelerin teoresini doğrudan kullanma imkanımız bulunmamaktadır. Bunun yerine J-holomorfik disklerin teorisini kullanmayı düşünüyoruz. Konunun güncel durumu ve bulunduğu aşama: Simplektik difeomorfizma grubu son derece aktif bir konudur. Konunun ve sahip olunan tekniklerin zenginliği bu alanı çok cekici yapmaktadır. Ayrıca konunun geometri ve fizikle olan yakın ilgisi bu alanın disiplinler arası önemini arttırmaktadır. Bu konuda elde edilecek her gelişme heyecan verici yeni gelişmelerin yolunu açacaktır. Araştırmanın kapsamı ve zamana bağlı iş planı: Projenin ilk üç ayında konuya ilşkin literatür gözden geçirilecek ve teorik eksiklikler kapatılacaktır. Daha sonraki altı aylık süreç içinde belirlenen sonuçların kanıtlarını oluşturmayı amaçlıyoruz. Son üç aylık süreçte ise sonuçların yazılması ve yayınlanmak üzere dergiye göndereilmesini planlıyoruz. Beklenen Sonuç: Amaçlanan sonuçlara ulaşılması rölatif difeomorfizma grubunun anlaşılması konusunda önemli bir aşama olacaktır. Bu bilgiler simplektik lif demetlerinin ve bunların Lagrangian alt demetlerinin anlaşılması doğrultusunda da yardımcı olacaktır