Integral equations and function extension techniques for numerical solution of PDEs

Today many phenomena from science and engineering can be simulated accurately thanks to computational methods. Still, many challenges remain, one of them being close interface interactions when simulating e.g. the dynamics of a substance concentration in multiphase flows at the micro level. The challenge is to maintain high accuracy and efficiency as drops, vesicles, etc. are very close to each other, which many numerical methods struggle with. Also, the drops' geometries undergo changes over time. Thus far there is no standardized method for solving the equation modeling a concentration on time-dependent geometries efficiently and accurately. Boundary integral methods are powerful in handling moving and complex geometries, and maintaining high accuracy throughout the domain, even for close interactions. However, they are only efficient for a limited class of problems, and thus do not apply to our problem at hand. The focus of this dissertation is to expand the class of problems boundary integral methods are applicable to, without sacrificing their most attractive properties, plus presenting how the resulting equations time-dependent geometries can be solved on time-dependent geometries. This is achieved by the development of the algorithm partition of unity extension (PUX). It smoothly extends data from its domain of definition, with compact support, which allows for application of established fast methods. With our PUX method and state-of-the-art computational algorithms new problems could be studied, and to new levels of accuracy. In the process new underlying dynamics that were previously obscured by large errors appeared. These findings spurred a new set of questions, leading to the design of accurate algorithms for a class of problems that appear when applying boundary integral methods in conjunction with discretizing the governing equations first in time. In sum, we are now closer to a complete solver for the evolution of the substance concentration on time-dependent geometries. In this endeavor, methods have been development and studied that have applications outside our scope, and have already been applied successfully in other researchers' work. The work with PUX has thus been fruitful and will be developed and investigated further in the future, with adaptivity as the goal. dag kan många fenomen från forskning och ingenjörskonst simuleras noggrant tack vare beräkningsmetoder. Dock kvarstår flera utmaningar. En av dem är att simulera interaktioner vid närkontakt mellangränssnitt, detta i simulering av dynamiken av en substanskoncentration i ett flerfasflöde på mikronivå. Utmaningen är att upprätthålla högnoggrannhet och effektivitet medan droppar, vesiklar osv. är mycketnära varandra, vilket är en svårighet för många numeriska metoder.Vidare, dropparnas geometri genomgår förändringar över tid. Hittillsfinns det ingen standardiserad metod för att effektivt och noggrantlösa ekvationen som modellerar en koncentration i en tidsberoendegeometri. Randintegralmetoder är kraftfulla i att hantera rörliga ochkomplexa geometrier, och kan upprätthålla hög noggrannhet i hela domänen, även för närkontaktsinteraktioner. Dock är de bara effektiva fören begränsad klass av problem, och applicerar inte på vårt problem.Fokuset för den här avhandlingen är att utöka klassen av problemrandintegralsmetoder kan appliceras på, utan att göra avkall på deras mest attraktiva egenskaper, samt presentera hur de resulterandeekvationerna kan lösas på tidsberoende geometri. Detta har uppnåttsgenom utvecklingen av algoritmen partition of unity extension (PUX).Den utvidgar en funktion slätt från domänen där den är definierad,med kompakt stöd, vilket tillåter appliceringen av etablerade snabbametoder.Med PUX och några av de bästa tillgängliga algoritmerna han nyaproblem kunnat studeras, och till nya nivåer av noggrannhet. I processen framträdde ny underliggande dynamik som tidigare varit skymdav stora fel. Upptäckten väckte ett antal nya frågor, vilket ledde tillutvecklingen av nya noggranna algoritmer. De appliceras när de givnaekvationerna diskretiseras först i tiden, och sedan löses med randintegralmetoder.Sammanfattningsvis, vi är nu närmare en fullständig lösare av utvecklingen av en substanskoncentration på tidsberoende geometri. Idenna strävan har metoder utvecklats och studerats som har användningsområden utanför vårt, och har redan använts framgångsrikt äveni andra forskares arbeten. Arbetet med PUX har alltså varit givande,och kommer att utvecklas och undersökas i framtiden, med adaptivitetsom mål