A discontinuous Galerkin discretization for solving the two-dimensional gas dynamics equations written under total Lagrangian formulation on general unstructured grids

Dans un cadre Lagrangien total, une discrétisation Galerkin discontinu (GD) est développée pour la représentation d'écoulements fluides bidimensionnels sur grilles déstructurées. Contrairement à une formulation Lagrangienne actualisée, qui correspond à la configuration mobile actuelle de l'écoulement, la formulation Lagrangienne totale se base sur une configuration de référence fixe, qui est généralement la configuration initiale de l'écoulement. Dans ce cadre, les descriptions Lagrangienne et Eulérienne des variables cinématiques et physiques sont reliées par les formules de Piola. Dans cet article, nous décrivons une discrétisation centrée Galerkin discontinu d'ordre élevé des lois de conservations physiques. La loi de conservation géométrique, qui détermine l'évolution temporelle du tenseur gradient de déformation, est quant à elle résolue par une discrétisation éléments finis. Cette approche nous permet une satisfaction exacte de la condition de compatibilité de Piola. Concernant le schéma GD présenté, il repose sur une utilisation des bases de Taylor, qui permettent une prise en compte unifiée des différents types de géométrie (triangulaire, rectangulaire, polygonale). Les flux numériques aux interfaces sont évalués grâce à des solveurs aux nœuds et aux faces, pouvant être vus comme des solveurs de Riemann approchés. Cet article présente des résultats numérique démontrant la robustesse et la précision de notre schéma GD d'ordre trois. Nous montrons dans un premier temps sa capacité à capturer très précisément les régions complexes d'écoulements grâce aux géométries curvilignes employées. Nous démontrons dans un second temps le gain drastique lié à la préservation de symétrie des écoulements radiaux.Based on the total Lagrangian kinematical description, a discontinuous Galerkin (DG) discretization of the gas dynamics equations is developed for two-dimensional fluid flows on general unstructured grids. Contrary to the updated Lagrangian formulation, which refers to the current moving configuration of the flow, the total Lagrangian formulation refers to the fixed reference configuration, which is usually the initial one. In this framework, the Lagrangian and Eulerian descriptions of the kinematical and the physical variables are related by means of the Piola transformation. Here, we describe a cell-centered high-order DG discretization of the physical conservation laws. The geometrical conservation law, which governs the time evolution of the deformation gradient, is solved by means of a finite element discretization. This approach allows to satisfy exactly the Piola compatibility condition. Regarding the DG approach, it relies on the use of a polynomial space approximation which is spanned by a Taylor basis. The main advantage in using this type of basis relies on its adaptability regardless the shape of the cell. The numerical fluxes at the cell interfaces are computed employing a node-based solver which can be viewed as an approximate Riemann solver. We present numerical results to illustrate the robustness and the accuracy up to third-order of our DG method. First, we show its ability to accurately capture geometrical features of a flow region employing curvilinear grids. Second, we demonstrate the dramatic improvement in symmetry preservation for radial flows