ON SOME ASYMPTOTIC MODELS IN THE HYDRODYNAMICS THEORY

Les équations de Kadomtsev-Petviashvili (KP) décrivent les ondes de faible amplitude et de grande longueur se déplaçant à la surface de l'eau, principalement dans la direction (Ox). Quant à l'équation de Benjamin-Ono (BO), elle décrit de telles ondes se déplaçant à l'intérieur de l'eau. On s'intéresse à ces équations vue en tant qu'équations de type Benjamin-Bona-Mahony (BBM).Notre travail se divise alors en trois parties. Dans la première partie, on rappelle la modélisation des différentes équations. On montre plus particulièrement que les modèles BBM s'obtiennent à partir du principe fondamental de la dynamique via une analyse asymptotique. On compare alors les solutions des équations de KP, respectivement de BO, avec les solutions des équations de type BBM.Dans la seconde partie, on s'intéresse à certaines propriétés qualitatives des équations généralisées de type BBM. Des résultats de prolongement en temps des bornes sur les normes de Sobolev, de décroissance en temps et de prolongement unique des solutions sont établis.Enfin, on termine avec une étude numérique des solutions des équations KP généralisées en dimension 3 d'espace. Dans cette dernière partie, en collaboration avec F. Hamidouche et S. Mefire, on inspecte numériquement les phénomènes de dispersion, d'explosion en temps fini, de comportement solitonique et d'instabilité transversale.The Kadomtsev-Petviashvili equations (KP) describe the small amplitude long wave moving mainly in the x-direction in shallow water. As for the Benjamin-Ono equation (BO), it describes such waves moving inside water. We are interested in these equations seen as equations of Benjamin-Bona-Mahony type (BBM). Our work is subdivided in three parts. In the first one, we recall the modelling of the different equations. More particularly, we show that the BBM models are obtained from the fundamental principle of dynamics via an asymptotic analysis. We compare then the solutions of the KP equations, respectively of the BO one, with the solutions of the equations of BBM type.In the second part, we are interested in some qualitative properties of the generalized equations of BBM type. Some results of continuation in time of bounds on Sobolev norms, decay in time and unique continuation of the solutions, are established.Finally, we conclude with a numerical study of the solutions of the generalized KP equations in space dimension 3. In this last part, in collaboration with F. Hamidouche and S. Mefire, we inspect numerically the phenomena of dispersion, blow-up in finite time, solitonic behaviour and transverseinstability