Reduced-order models : convergence between scientific computing and data for fluid mechanics

L'objectif de cette thèse est de réduire significativement le coût de calcul associé aux simulations numériques gouvernées par des équations aux dérivées partielles. Dans ce but, nous considérons des modèles dits "réduits", dont la construction consiste typiquement en une phase d'apprentissage, au cours de laquelle des solutions haute-fidélité sont collectées pour définir un sous-espace d'approximation de faible dimension, et une étape de prédiction, qui exploite ensuite ce sous-espace d'approximation conduit par les données afin d'obtenir des simulations rapides voire en temps réel. La première contribution de cette thèse concerne la modélisation d'écoulements gazeux dans les régimes hydrodynamiques et raréfiés. Dans ce travail, nous développons une nouvelle approximation d'ordre réduite de l'équation de Boltzmann-BGK, basée sur la décomposition orthogonale aux valeurs propres dans la phase d'apprentissage et sur la méthode de Galerkin dans l'étape de prédiction. Nous évaluons la simulation d'écoulements instationnaires contenant des ondes de choc, des couches limites et des vortex en 1D et 2D. Les résultats démontrent la stabilité, la précision et le gain significatif des performances de calcul fourni par le modèle réduit par rapport au modèle haute-fidélité. Le second sujet de cette thèse porte sur les applications du problème de transport optimal pour la réduction de modèles. Nous proposons notamment d'employer la théorie du transport optimal afin d'analyser et d'enrichir la base de données contenant les solutions haute-fidélité utilisées pour l'entraînement du modèle réduit. Les tests de reproduction et de prédiction d'écoulements instationnaires, gouvernés par l'équation de Boltzmann-BGK en 1D, montrent l'amélioration de la précision et de la fiabilité du modèle réduit résultant de ces deux applications. Finalement, la dernière contribution de cette thèse concerne le développement d'une méthode de décomposition de domaine basée sur la méthode de Galerkin discontinue. Dans cette approche, le modèle haute-fidélité décrit la solution où un certain degré de précision est requis, tandis que le modèle réduit est employé dans le reste du domaine. La méthode de Galerkin discontinue pour le modèle réduit offre une manière simple de reconstruire la solution globale en raccordant les solutions locales à travers les flux numériques aux interfaces des cellules. La méthode proposée est évaluée pour des problèmes paramétriques gouvernés par les équations d'Euler en 1D et 2D. Les résultats démontrent la précision de la méthode proposée et la réduction significative du coût de calcul par rapport aux simulations haute-fidélité.The objective of this thesis is to significantly reduce the computational cost associated with numerical simulations governed by partial differential equations. For this purpose, we consider reduced-order models (ROMs), which typically consist of a training stage, in which high-fidelity solutions are collected to define a low-dimensional trial subspace, and a prediction stage, where this data-driven trial subspace is then exploited to achieve fast or real-time simulations. The first contribution of this thesis concerns the modeling of gas flows in both hydrodynamic and rarefied regimes. In this work, we develop a new reduced-order approximation of the Boltzmann-BGK equation, based on Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the training stage and on the Galerkin method in the prediction stage. We investigate the simulation of unsteady flows containing shock waves, boundary layers and vortices in 1D and 2D. The results demonstrate the stability, accuracy and significant computational speedup factor delivered by the ROM with respect to the high-fidelity model. The second topic of this thesis deals with the optimal transport problem and its applications to model order reduction. In particular, we propose to use the optimal transport theory in order to analyze and enrich the training database containing the high-fidelity solution snapshots. Reproduction and prediction of unsteady flows, governed by the 1D Boltzmann-BGK equation, show the improvement of the accuracy and reliability of the ROM resulting from these two applications. Finally, the last contribution of this thesis concerns the development of a domain decomposition method based on the Discontinuous Galerkin method. In this approach, the ROM approximates the solution where a significant dimensionality reduction can be achieved while the high-fidelity model is employed elsewhere. The Discontinuous Galerkin method for the ROM offers a simple way to recover the global solution by linking local solutions through numerical fluxes at cell interfaces. The proposed method is evaluated for parametric problems governed by the quasi-1D and 2D Euler equations. The results demonstrate the accuracy of the proposed method and the significant reduction of the computational cost with respect to the high-fidelity model