Sonlu elemanlar yönteminin kısmi türevli denklemlere uygulanması

ÖZETSONLU ELEMANLAR YÖNTEMİNİN KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLERE UYGULANMASI Sonlu elemanlar yöntemi, özellikle fizik ve mühendislikte karşılaşılan diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan nümerik bir işlemdir. Sonlu elemanlar yönteminde temel kavram; sıcaklık, basınç veya yer değiştirme gibi herhangi bir sürekli büyüklüğün sonlu sayıdaki alt bölgeler üzerinde tanımlanan parçalı sürekli fonksiyonlardan oluşmasıdır. Sonlu eleman yönteminin günümüzde uygulama alanı oldukça geniştir ve diferansiyel denklemlerle ifade edilebilen fiziksel problemlerin tamamına uygulanabilir. Bu yöntem önce mühendislikte kullanılmak için oluşturuldu fakat şimdi uygulamalı matematikte kısmi diferansiyel denklemlerin bütün alanlarında yaklaşık çözümü bulmakta kullanılıyor. Bir çok fiziksel problemler sınır şartlarında ve düzensiz şekildeki sınır alanlarında türevleri gerektirir. Bu yöntem özellikle düzensiz bölgelere uygulandığında, çok fazla sayıda karmaşık işlem içerir, fakat bilgisayarlar la bunun üstesinden gelinmektedir. Sonlu elemanlar yönteminde fonksiyonel minimize edilerek adi sınır değer problemi çözülür. Bu işlemde çözümü bulmak için diferansiyel denklemin kendisine ihtiyaç yoktur. Fonksiyoneli minimize eden fonksiyon diferansiyel denklemlerin çözümüdür. Bu şekilde adlandırılan metotların problemin tanım kümesi içinde parçalı şekilde uygulanacağı görülecektir. İşte bu yönteme sonlu elemanlar yöntemi adı verilir. Sonlu eleman denmesinin sebebi tanım kümesinin sonlu sayıda elemana bölünmesidir. Bu tür metotlar diferansiyel denklemlerle gelişen popüler metotlardır. İki boyutlu bir alanı alt bölgelere ayırırken bu alanı kapsayan eleman seçimi oldukça geniştir. Dikdörtgenler kullanılabilir. Fakat düzgün olamayan bölgeler için pek uygun değildir. Bu bölgelerde daha çok üçgenler kullanılır. Bazı çokgen şekiller yada eğri içindeki elemanlarda vardır. Fakat bunlar kullanım için çok karmaşıktır. Üçgenler çok popülerdir ve bu çalışmada da üçgenler kullanılacaktır. Bu metot uygulanırken; diferansiyel denkleme karşılık gelen fonksiyonel bulunur. Alan alt bölgelere yani üçgenlere bölünür. Fonksiyonun çözümünün değerlerini köşelerdeki bağıntılarda yerine yazmalıyız ki fonksiyonun eleman içindeki değerlerini verebilsin. Her bir fonksiyonelin türevlerini sıfıra götürüp minimize edeceğiz. Fonksiyonel her eleman üzerinden integrallerin toplamı şeklinde yazılır. Bu bize çözümü bulmak için çözebileceğimiz lineer denklem sistemlerini verir. Bu tezde fizik ve mühendislik bilimlerinde kendisine sıkça uygulama alanı bulan dalga yayılması problemlerinin modellerini karakterize eden Helmoltz denklemlerinin çözümü sonlu elemanlar yöntemi ile iki boyutta incelenmiştir. İki boyutta [0,1]x[0,1] kare bölgede denklemin çözümü incelenmiş olup sonlu elemanlar metodu ile çözümler yapılmıştır. Farklı dalga sayıları ve farklı açılar altında çözümün kesin olarak yapılamadığı durumlarda sonlu elemanlar metodunun kullanılabilirliği gösterilmiştir.Haziran,2004 Fatma HÜSEM ABSTRACTAPPLICATION OF FINITE ELEMENT METHOD TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONSFinite element method is a process used in finding approximate solutions to differential equations encountered mainly in physics and engineering. The main concept of finite elements method is physical quantities(e.g. temperature, pressure and displacement) are composed of piecewise continous functions defined on a finite number of subregions. The contemporary application areas of finite element methods are quite wide and can be applied to all physical problems that can be expressed in terms of differential equations.This method was first developed for engineering problems but now it is used in all applied mathematics problems to approximate solutions of partial differential equations arising in numerous fields. Many physical problems require derivatives at irrregular boundaries and regions. When this method is specially applied to irregular regions. It requires plenty of complicated calculations. However present day computers can tackle with this problem.In finite element method the functionaly is minimized so as to solve ordinary boundary value problem. The reason this method is called the finite element method is that the domain is divide into a finite number of elements in this work the domain was subdivided into triangle regions. This is widely used in literature also.In this thesis the solution of Helmholtz equation in two dimension is done by using the finite element method. Helmholtz equations are widely used in problems of wave propogation in physics and engineering problems. The problem is analyzed using the finite element method in square region and numerical solutions are abtained for various wave numbers and angles.Haziran,2004 Fatma HÜSE