Values on regular games under Kirchhoff's laws

URL des Cahiers :http://mse.univ-paris1.fr/MSEFramCahier2006.htmCahiers de la Maison des Sciences Economiques 2006.87 - ISSN 1624-0340In cooperative game theory, the Shapley value is a central notion defining a rational way to share the total worth of a game among players. In this paper, we address a general framework, namely regular set systems, where the set of feasible coalitions forms a poset where all maximal chains have the same length. We first show that previous definitions and axiomatizations of the Shaphey value proposed by Faigle and Kern and Bilbao and Edelman still work. our main contribution is then to propose a new axiomatization avoiding the hierarchical strength axiom of Faigle and Kern, and considering a new way to define the symmetry among players. Borrowing ideas from electric networks theory, we show that our symmetry axiom and the classical efficiency axiom correspond actually to the two Kirchhoff's laws in the resistor circuit associated to the Hasse diagram of feasible coalitions. We finally work out a weak form of the monotonicity axiom which is satisfied by the proposed value.En théorie des jeux coopératifs, la valeur de Shapley est une notion centrale permettant de définir d'une manière rationnelle le moyen de partager la valeur de la grande coalition entre tous les joueurs. Dans le cadre général de ce papier, l'ensemble des coalitions faisables où est défini le jeu forme un ensemble ordonné (par l'inclusion) dont toutes les chaînes maximales ont la même longueur. Nous montrons d'abord que certaines définitions et axiomatisations précédemment étudiées par Faigle et Kern de la valeur de Shapley restent valables. Notre principale contribution est de proposer une nouvelle axiomatisation qui évite l'axiome de force hiérarchique de Faigle et Kern (difficilement interprétable), considérant un nouveau moyen de généraliser l'axiome d'anonymat entre joueurs. Des idées de la théorie des réseaux électriques sont ensuite empruntées, où nous montrons que notre axiome d'anonymat (regularity axiom) ainsi que l'axiome bien connu d'efficacité (efficiency axiom) correspondent en fait aux deux lois de Kirchhoff d'un circuit électrique résistif (les noeuds étant données par les coalitions faisables et les branches par les couples de coalitions se précédant). Plus précisément, des analogies sont données entre l'axiome d'efficacité et la loi des nœuds entre l'axiome d'anonymat et la loi des mailles. Nous établissons enfin une forme plus faible de l'axiome de monotonie qui est satisfait par la valeur proposée