Topology of Uncertain Scalar Fields

Scalar fields are used in many disciplines to represent scalar quantities over some spatial domain. Their versatility and the potential to model a variety of real-world phenomena has made scalar fields a key part of modern data analysis. Examples range from modeling scan results in medical applications (e.g. Magnetic Resonance Imaging or Computer Tomography), measurements and simulations in climate and weather research, or failure criteria in material sciences. But one thing that all applications have in common is that the data is always affected by errors. In measurements, potential error sources include sensor inaccuracies, an unevenly sampled domain, or unknown external influences. In simulations, common sources of error are differences between the model and the simulated phenomenon or numerical inaccuracies. To incorporate these errors into the analysis process, the data model can be extended to include uncertainty. For uncertain scalar fields that means replacing the single value that is given at every location with a value distribution. While in some applications, the influence of uncertainty might be small, there are a lot of cases where variations in the data can have a large impact on the results. A typical example is weather forecasts, where uncertainty is a crucial part of the data analysis. With increasing access to large sensor networks and extensive simulations, the complexity of scalar fields often grows to a point that makes analysis of the raw data unfeasible. In such cases, topological analysis has proven to be a useful tool for reducing scalar fields to their fundamental properties. Scalar field topology studies structures that do not change under transformations like scaling and bending but only depend on the connectivity and relative value differences between the points of the domain. While a lot of research has been done in this area for deterministic scalar fields, the incorporation of uncertainty into topological methods has only gained little attention so far. In this thesis, several methods are introduced that deal with the topological analysis of uncertain scalar fields. The main focus lies on providing fundamental research on the topic and to drive forward a rigorous analysis of the influence of uncertainty on topological properties. One important property that has a strong influence on topological features are stochastic dependencies between different locations in the uncertain scalar field. In the first part of this thesis, we provide a method for extracting regions that show linear dependency, i.e. correlation. Using a combination of point-cloud density estimation, clustering, and scalar field topology, our method extracts a hierarchical clustering. Together with an interactive visualization, the user can explore the correlation information and select and filter the results. A major benefit of our approach is the comprehensive handling of correlation. This also includes global correlation between distant points and inverse correlation, which is often only partially handled by existing methods. The second part of this thesis focuses on the extraction of topological features, such as critical points or hills and valleys of the scalar field. We provide a method for extracting critical points in uncertain scalar fields and track them over multiple realizations. Using a novel approach that operates in the space of all possible realizations, our method can find all critical points deterministically. This not only increases the reliability of the results but also provides complete knowledge that can be used to study the relation and behavior of critical points across different realizations. Through a combination of multiple views, we provide a visualization that can be used to analyze critical points of an uncertain scalar field for real-world data. In the last part, we further extend our analysis to more complex feature types. Based on the well-known contour tree that provides an abstract view on the topology of a deterministic scalar field, we use an approach that is similar to our critical point analysis to extract and track entire regions of the uncertain scalar field. This requires solving a series of new challenges that are associated with tracking features in the multi-dimensional space of all realizations. As our research on the topic falls under the category of fundamental research, there are still some limitations that have to be overcome in the future. However, we provide a full pipeline for extracting topological features that ranges from the data model to the final interactive visualization. We further show the applicability of our methods to synthetic and real-world data.Skalarfelder sind Funktionen, die jedem Punkt eines Raumes einen skalaren Wert zuweisen. Sie werden in vielen verschiedenen Bereichen zur Analyse von skalaren Messgrößen mit räumlicher Information eingesetzt. Ihre Flexibilität und die Möglichkeit, viele unterschiedliche Phänomene der realen Welt abzubilden, macht Skalarfelder zu einem wichtigen Werkzeug der modernen Datenanalyse. Beispiele reichen von medizinischen Anwendungen (z.B. Magnetresonanztomographie oder Computertomographie) über Messungen und Simulationen in Klima- und Wetterforschung bis hin zu Versagenskriterien in der Materialforschung. Eine Gemeinsamkeit all dieser Anwendungen ist jedoch, dass die erfassten Daten immer von Fehlern beeinflusst werden. Häufige Fehlerquellen in Messungen sind Sensorungenauigkeiten, ein ungleichmäßig abgetasteter Betrachtungsbereich oder unbekannte externe Einflussfaktoren. Aber auch Simulationen sind von Fehlern, wie Modellierungsfehlern oder numerischen Ungenauigkeiten betroffen. Um die Fehlerbetrachtung in die Datenanalyse einfließen lassen zu können, ist eine Erweiterung des zugrunde liegenden Datenmodells auf sogenannte \emph{unsicheren Daten} notwendig. Im Falle unsicherer Skalarfelder wird hierbei statt eines festen skalaren Wertes für jeden Punkt des Definitionsbereiches eine Werteverteilung angegeben, die die Variation der Skalarwerte modelliert. Während in einigen Anwendungen der Einfluss von Unsicherheit vernachlässigbar klein sein kann, gibt es viele Bereiche, in denen Schwankungen in den Daten große Auswirkungen auf die Resultate haben. Ein typisches Beispiel sind hierbei Wettervorhersagen, bei denen die Vertrauenswürdigkeit und mögliche alternative Ausgänge ein wichtiger Bestandteil der Analyse sind. Die ständig steigende Größe verfügbarer Sensornetzwerke und immer komplexere Simulationen machen es zunehmend schwierig, Daten in ihrer rohen Form zu verarbeiten oder zu speichern. Daher ist es wichtig, die verfügbare Datenmenge durch Vorverarbeitung auf für die jeweilige Anwendung relevante Merkmale zu reduzieren. Topologische Analyse hat sich hierbei als nützliches Mittel zur Verarbeitung von Skalarfeldern etabliert. Die Topologie eines Skalarfeldes umfasst all jene Merkmale, die sich unter bestimmten Transformationen, wie Skalierung und Verzerrung des Definitionsbereiches, nicht verändern. Hierzu zählen beispielsweise die Konnektivität des Definitionsbereiches oder auch die Anzahl und Beziehung von Minima und Maxima. Während die Topologie deterministischer Skalarfelder ein gut erforschtes Gebiet ist, gibt es im Bereich der Verarbeitung von Unsicherheit im topologischen Kontext noch viel Forschungspotenzial. In dieser Dissertation werden einige neue Methoden zur topologischen Analyse von unsicheren Skalarfeldern vorgestellt. Der wesentliche Teil dieser Arbeit ist hierbei im Bereich der Grundlagenforschung angesiedelt, da er sich mit der theoretischen und möglichst verlustfreien Verarbeitung von topologischen Strukturen befasst. Eine wichtige Eigenschaft, die einen starken Einfluss auf die Struktur eines unsicheren Skalarfeldes hat, ist die stochastische Abhängigkeit zwischen verschiedenen Punkten. Im ersten Teil dieser Dissertation wird daher ein Verfahren vorgestellt, das das unsichere Skalarfeld auf Regionen mit starker linearer Abhängigkeit, auch \emph{Korrelation} genannt, untersucht. Durch eine Kombination aus hochdimensionaler Punktwolkenanalyse, Clusterbildung und Skalarfeldtopologie extrahiert unsere Methode eine Hierarchie von Clustern, die die Korrelation des unsicheren Skalarfeldes repräsentiert. Zusammen mit einer interaktiven, visuellen Aufbereitung der Daten wird dem Nutzer so ein explorativer Ansatz zur Betrachtung der stochastischen Abhängigkeiten geboten. Anzumerken ist hierbei, dass unser Verfahren auch globale und inverse Korrelation abdeckt, welche in vielen verwandten Arbeiten oft nicht vollständig behandelt werden. Der zweite Teil dieser Dissertation widmet sich der Analyse und Extraktion von topologischen Merkmalen, wie kritischen Punkten oder ganzen Hügeln oder Tälern im Funktionsgraphen des Skalarfeldes. Hierzu wird ein Verfahren zur Berechnung von kritischen Punkten vorgestellt, das diese auch über viele verschiedene Realisierungen des unsicheren Skalarfeldes identifizieren und verfolgen kann. Dies wird durch einen neuen Ansatz ermöglicht, der den Raum aller möglichen Realisierungen nach geometrischen Strukturen untersucht und somit kritische Punkte deterministisch berechnen kann. Dadurch, dass mit diesem Verfahren keine kritischen Punkte ausgelassen werden, steigt nicht nur die Vertrauenswürdigkeit der Resultate, sondern es wird außerdem möglich, Beziehungen zwischen kritischen Punkten zu untersuchen. Zu diesen Beziehungen gehört beispielsweise das Wandern von kritischen Punkten über verschiedene Positionen oder auch die Entstehung von Skalarwerthügeln oder -tälern. Um die Resultate visuell zu untersuchen, stellen wir mehrere verknüpfte Ansichten bereit, die eine Analyse von kritischen Punkten auch in realen Daten ermöglichen. Im letzten Teil dieser Arbeit erweitern wir die Betrachtung der Topologie von kri\-ti\-schen Punkten auf komplexere Strukturen. Basierend auf dem \emph{Konturbaum}, der eine abstrakte Repräsentation der Topologie eines deterministischen Skalarfeldes ermöglicht, untersuchen wir, wie ganze Regionen des Skalarfeldes von Unsicherheit betroffen sind. Dies führt zu einer Reihe von neuen theoretischen und auch praktischen Herausforderungen, wie der stark steigenden Komplexität der notwendigen Berechnungen oder Inkonsistenzen bei der Verfolgung von topologischen Strukturen über mehrere Realisierungen. Auch wenn zur Anwendung unserer Verfahren auf reale Daten aufgrund des großen Möglichkeitsraumes von unsicheren Skalarfeldern noch Einschränkungen notwendig sind, sind viele der theoretischen Erkenntnisse allgemeingültig. Zur Betrachtung der Ergebnisse werden verschiedene Visualisierungen genutzt, um die extrahierten topologischen Strukturen anhand von synthetischen und realen Daten zu zeigen