A dual-based approach to the treatment of linear-quadratic optimal control problems with an a priori given infinite horizon

Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Berücksichtigung von Steuerungsbeschränkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enthält die Arbeit zudem eine ausführliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Dafür betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. Für die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird dafür über gewichteten Funktionenräumen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-Räume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausführungen zwischen Problemen über Funktionenräumen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenräumen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zunächst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler Lösungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualität wird hierfür eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenräumen mit Dichtefunktionen hergeleitet. Für diese können schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht.The present work focuses on a dual-based treatment of linear-quadratic optimal control problems with an a priori given infinite time horizon and control constraints. In addition to the theoretical and analytical investigation of such types of problems, this work also includes a detailed presentation of numerical experiments based on applications from biology and epidemiology. For this purpose, in addition to the Lotka-Volterra system, we also consider a version of the SEIR model, which describes the spread of an infectious disease. Thereby the parameter sets involved in the model are based on the current statistical data of the viral disease Covid-19. Linear-quadratic control problems represent an important class in the theory of optimal control, since they are used in the approximation of non-linear problems, as well as in the field of sequential quadratic optimization. For example, the choice of an a priori given infinite time horizon arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems. Motivated by this wide range of applications this class of problems is considered in detail. The problem formulation over an infinite time horizon implies a weighted space setting. For the state space a weighted Sobolev space is chosen and for the control space a weighted Lebesgue space is considered. Therefore we distinguish between problems in functional spaces with proper weight functions and functional spaces with density functions. We discuss the existence and the uniqueness of optimal solutions of the underlying problemformulation and specify optimality conditions for problems in functional spaces with density functions. The missing formulation of necessary optimality conditions for problems in functional spaces with a proper weight function finally motivates a dual-based approach. Following this approach we present a construction of a dual problem based on the ideas of the Lagrange duality. This leads us to a dual program in the form of a variational problem in weighted functional spaces with density functions. We succeded in providing saddle point conditions and necessary optimality conditions in form of a Pontryagin maximum principle. These necessary conditions provide in addition to the canonical equation and the maximum condition the existence of an adjoint satisfying a natural transversality condition. For the numerical treatment of the dual program we present a direct pseudospectral method based on the usage of generalized Laguerre polynomials which build a complete orthogonal set in the weighted Lebesgue space. The successful application of the proposed method is illustrated by means of various numerical examples from optimal control theory as well as from asymptotic controllability field