Álgebra linear, a equação da onda e algumas aplicações no Ensino Médio

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2021.O objetivo deste trabalho é mostrar a aplicação de tópicos estudados em espaços vetoriais em algumas equações da Física como, a Equação do Calor e principalmente a Equação de Onda culminando com alguns conceitos introdutórios da Física na música. Para isso fazemos uma breve revisão dos principais conceitos estudados na teoria dos Espaços Vetoriais e damos ênfase numa importante função estudada nos Espaços Vetoriais: o Produto Interno. Dessa forma procuramos estender o conceito de Produto Interno a espaços vetoriais diferentes daqueles que são trivialmente estudados, como por exemplo o espaço vetorial das matrizes quadradas ou espaço vetorial das funções reais. Com isso fica bem claro o conceito de Funções Ortogonais o que sem dúvida alguma é a essência das chamadas Séries de Fourier. Assim damos um destaque para essa Série que permite a resolução de Equações Diferenciais as quais dão sentido na resolução de problemas físicos. Por fim fazemos um breve estudo do som produzido por ondas mecânicas dando como exemplo de onda a corda do violão dedilhada, a ressonância e o batimento, permitindo um entendimento físico e matemático empregado nesses fenômenos.The aim of this work is to show the application of topics studied in Vector Spaces in some Physics equations such as the Heat Equation and mainly the Wave Equation culminating with some introductory concepts of Physics in music. For this, we make a brief review of the main concepts studied in the theory of vector spaces and emphasize an important function studied in Vector Spaces: the Internal Product. In this way we try to extend the concept of Internal Product to vector spaces different from those that are trivially studied, such as the vector space of square matrices or vector space of real functions. This makes the concept of Orthogonal Functions very clear, which is undoubtedly the essence of the so-called Fourier Series. Thus, we highlight this Series, which allows the resolution of Differential Equations which give meaning in the resolution of physical problems. Finally, we make a brief study of the sound produced by mechanical waves, giving the strummed guitar string as an example of a wave, allowing a physical and mathematical understanding used in this phenomenon