Problemas de curvatura prescrita en variedades con borde

This thesis addresses the study of two semilinear elliptic problems that arise in Riemannian Geometry. More precisely, we are interested in the prescription of certain geometric quantities on Riemannian manifolds with boundary under conformal changes of the metric, namely, the Gaussian and geodesic curvatures on a compact surface and its boundary, and the scalar and mean curvatures on a manifold of higher dimension. Most of the results available in the literature concern closed manifolds, whereas the boundary cases have been less considered. In that regard, we highlight that the presence of the boundary leads to a wider variety of phenomena, many of which nd no counterpart on the closed versions of these problems. In particular, the variational approach in Chapter 4, and the compactness and existence arguments of Chapter 5 are strictly related to the presence of boundary. Furthermore, the focus of our research concerns the case in which both curvatures are nonconstant, for which there are only a few known results. These problems admit a variational structure, so we will discuss the existence of solutions from the point of view of the Calculus of Variations. Sometimes the energy functionals considered here are bounded from below and a minimizer can be found; in other cases, though, this is not possible, and the use of min-max theory is needed. In the latter situation we are led to the blow-up analysis of solutions of approximated problems. The work developed in this thesis has given rise to two research papers, [31] and [32].Esta tesis comprende el estudio de dos problemas elípticos semilineales que aparecen en el ámbito de la Geometría Riemanniana. En concreto, estamos interesados en prescribir determinadas cantidades geométricas en variedades Riemannianas con borde mediante transformaciones conformes de la métrica, a saber, las curvaturas Gaussiana y geodésica en una super cie compacta y su borde, y las curvaturas escalar y media en una variedad de dimensión superior. La mayor parte de los resultados disponibles se centran en el estudio de estas ecuaciones en variedades cerradas, mientras que el caso con borde ha sido mucho menos tratado. En este sentido, destacamos que la presencia de borde da lugar a una mayor cantidad de fenómenos, muchos de los cuales no encuentran análogo en las versiones cerradas de estos problemas. En particular, la formulación variacional del capítulo 4, y los argumentos de compacidad y existencia del capítulo 5 están íntimamente relacionados con la presencia de borde. Además, el foco de nuestra investigación está puesto en el caso en que las curvaturas prescritas son no constantes, para los cuales hay solo unos pocos resultados conocidos. Este tipo de problemas admite una estructura variacional, de modo que discutiremos la existencia de soluciones desde el punto de vista del Cálculo de Variaciones. A veces los funcionales de energía considerados estarán minorados y será posible encontrar un mínimo global; en otros casos, sin embargo, esto no es posible y el uso de la teoría mín-máx se hace necesario. En esta última situación, esto nos conduce al análisis de soluciones de blow-up de problemas aproximados. El trabajo desarrollado en esta tesis ha dado lugar a dos artículos de investigación, [31] y [32].Questa tesi riguarda lo studio di due problemi ellittici semilineari che appaiono nel campo della Geometria Riemanniana. In particolare, siamo interessati a prescrivere certe quantit a geometriche su variet a Riemanniane con bordo per mezzo di trasformazioni conformi della metrica, cio e le curvature Gaussiana e geodetica su una super cie compatta e il suo bordo, e le curvature scalare e media su una variet a di dimensione superiore. La maggior parte dei risultati disponibili si concentra sullo studio di queste equazioni in variet a chiuse, mentre il caso con bordo e stato trattato molto meno. In relazione a ci o, evidenziamo che la presenza del bordo produce una pi u ampia variet a di fenomeni, molti dei quali non trovano una controparte sulle versioni chiuse di questi problemi. In particolare, la formulazione variazionale del capitolo 4, e gli argomenti di compattezza ed esistenza del capitolo 5 sono intimamente legati alla presenza del bordo. Inoltre, la nostra ricerca e focalizzata sul caso in cui le curvature prescritte sono non costanti, per il quale ci sono solo pochi risultati noti. Questo tipo di problemi ammette una struttura variazionale, quindi discuteremo l'esistenza di soluzioni dal punto di vista del Calcolo delle Variazioni. A volte i funzionali di energia considerati saranno limitati dal basso e sar a possibile trovare un minimo globale; in altri casi, tuttavia, questo non e possibile e l'uso della teoria min-max diventa necessario. In quest'ultima situazione, questo ci porta all'analisi di blow-up delle soluzioni dei problemi approssimati. Il lavoro sviluppato in questa tesi ha portato a due articoli di ricerca, [31] e [32].Tesis Univ. Granada.Marie Sklodowska-Curie dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica (713485