On Dirichlet's (1829) paper on Fourier series

Tämän maisterintutkielman tavoitteena on tutustuttaa lukija Dirichletin kuuluisaan todistukseen Fourier-sarjojen suppenevuudesta. Työssäni olen pyrkinyt säilyttämään Dirichletin todistuksen hengen käymällä todistusta läpi Dirichletin itsensä kirjoittamalla tavalla. Sellaiset osuudet todistuksesta jotka Dirichlet sivuutti olen yrittänyt käydä läpi niinkuin Dirichlet olisi ne voinut käydä. Työssä käsiteltävät Fourier-sarjat ovat trigonometrisiä sarjoja joiden avulla voidaan esittää tietyt ehdot täyttäviä funktiota. Todistuksen oleellinen osuus on siis osoittaa että suuri määrä funktio voidaan esittää trigonometristen sarjojen äärettömänä summana. Tutkielma alkaa ensimmäisen kappaleen tiivistelmällä. Toisessa kappaleessa kerrotaan todistuksen tausta historiasta, sen merkittävyydestä sekä sen jälkeisistä tuloksista. Tämän jälkeen käydään läpi todistuksessa tarvittavia lauseita, määritelmiä ja laskuja kappaleissa kolme ja neljä. Kappaleessa viisi lasketaan integraali nollasta äärettömään funktiolle sin(x)/x, mitä käytetään seuraavassa kappaleessa. Kuudennessa ja viimeisessä kappaleessa käydään lopulta läpi Dirichletin todistus. Se on jaettu kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa käydään läpi lauseita ja lemmoja, jotka sitten kootaan yhdeksi. Toisessa osassa käydään päätodistus läpi hyödyntämällä ensimmäistä osaa. Hyvänä jatkotutkimuksen aiheena voisi olla Dirichletin todistuksen jälkeiset todistukset Fourier-sarjojen suppenemisesta. Dirichlet esitti omat riittävät ehtonsa Fourier-sarjojen suppenemiselle, mutta hänen jälkeensä on esitetty muitakin riittäviä ehtoja. Näiden kokoaminen ja vertailu voisivat olla varsin mielenkiintoinen tutkimuksen aihe