Srovnání blokových předpodmiňovačů pro nestlačitelné Navierovy-Stokesovy rovnice diskretizované pomocí isogeometrické analýzy

Zabýváme se numerickým řešením nestlačitelných Navierových-Stokesových rovnic diskretizovaných pomocí isogeometrické analýzy (IgA). Podobně jako u konečných prvků vede diskretizace na soustavy lineárních rovnic s řídkou maticí. Bázové funkce v IgA mají několik specifických vlastností, kterými se liší od standardní báze používané v metodě konečných prvků. Jedna z nejdůležitejších je vyšší spojitost na hranici prvků, což vede k soustavám s plnější maticí. Zaměřujeme se na řešení těchto soustav metodou GMRES s předpodmíněním pomocí několika blokových předpodmiňovačů. Srovnáváme efektivitu ideálních verzí těchto předpodmiňovačů pro tří modelové úlohy (pro stacionární i nestacionární proudění ve dvou a třech dimenzích) a studujeme jejich vlastnosti se zaměřením na specifika isogeometrické analýzy, tj. různý stupeň a spojistost bázových funkcí. Z našich experimentů vyplývá, že blokové předpodmiňovače jsou efektivní i pro soustavy získané diskretizací pomocí isogeometrické analýzy s vysokou spojitostí, dokonce že vyšší spojitost může být v tomto kontextu výhodou. Například se zdá, že některé předpodmiňovače, jejichž konvergence je ve stacionárním případě závislá na síti, jsou pro diskretizace s vyšší spojitostí na zjemnění sítě méně citlivé. V nestacionárním případě pozorujeme u většiny předpodmiňovačů obecně rychlejší konvergenci pro vyšší spojitost než pro diskretizace stejného stupně s C0 spojitostí.We deal with numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations discretized using the isogeometric analysis (IgA) approach. Similarly to finite elements, the discretization leads to sparse nonsymmetric saddle-point linear systems. The IgA discretization basis has several specific properties different from standard FEM basis, most importantly a higher interelement continuity leading to denser matrices. We are interested in iterative solution of the resulting linear systems using a Krylov subspace method (GMRES) preconditioned with several state-of-the-art block preconditioners. We compare the efficiency of the ideal versions of these preconditioners for three model problems (for both steady and unsteady flow in two and three dimensions) and investigate their properties with focus on the IgA specifics, that is, various degree and continuity of the discretization basis. Our experiments show that the block preconditioners can be successfully applied to the systems arising from high continuity IgA, moreover, that the high continuity can bring some benefits in this context. For example, some of the preconditioners, whose convergence is h-dependent in the steady case, seem to be less sensitive to the mesh refinement for higher continuity discretizations. In the unsteady case, we generally get faster convergence for higher continuity than for C0 continuous discretizations of the same degree for most of the preconditioners