Topological entropy on the real line

Neste trabalho, objetivo é mostrar que mapas topologicamente transitivos na reta real tem Entropia Topológica positiva. Para tal são necessárias algumas noções básicas sobre Topologia, Análise na Reta e Sistemas Dinâmicos que serão essenciais para o desenrolar da dissertação. Para a continuidade do trabalho será necessário apresentar algumas das defi- nições de Entropia Topológica que serão via coberturas abertas e por conjuntos geradores e separados em conjuntos compactos. No que se refere a espaços métricos compactos, as definições citadas serão equivalentes. Com o foco de se trabalhar na reta real será necessário uma nova definição de Entropia Topológica para que seja possível trabalhar no contexto desejado, esta definição será aplicada em mapas em espaços métricos. Nos dois últimos capítulos será trabalhado Entropia topológica em contextos diferentes, no penúl- timo utilizando as definições de Entropia Topológica relacionadas a conjuntos compactos. Enquanto no último capítulo será utilizada a definição em Espaços Métricos. Em ambos os capítulos será feito o estudo para dar uma nova definição de Entropia Topológica en- volvendo mapas monótonos. No capítulo sobre Entropia Topológica em intervalos, haverá um seção que trata o conceito de ferradura, em especial o Teorema de Misiurewicz, que é de fundamental importância para quando o mesmo tema for tratado na reta real. Nos capítulos finais, nos dois últimos, são estudados mapas topologicamente transitivos, com a finalidade de mostrar que suas Entropias Topológicas são positivas. Palavras-chave: Entropia Topológica. Mapas Transitivos. FerradurasIn this work, the objective is to show that topologically transitive maps on the real line have positive Topological Entropy. For that, some basic notions about Topology, Analysis in the Line and Dynamic Systems are necessary, which will be essential for the develop- ment of the dissertation. For the continuity of the work it will be necessary to present some of the definitions of Topological Entropy that will be via open covers and by gene- rating sets and separated into compact sets. With regard to compact metric spaces, the definitions mentioned will be equivalent. With the focus on working on the real line, a new definition of Topological Entropy will be necessary so that it is possible to work in the desired context, this definition will be applied to maps in metric spaces. In the last two chapters, topological entropy will be worked on in different contexts, in the penultimate one using the definitions of topological entropy related to compact sets. While in the last chapter the definition in Metric Spaces will be used. In both chapters the study will be done to give a new definition of Topological Entropy involving monotonous maps. In the chapter on Topological Entropy in intervals, there will be a section that deals with the concept of horseshoe, especially the Misiurewicz Theorem, which is of fundamental im- portance when the same theme is dealt with in the real line. In the final chapters, in the last two, topologically transitive maps are studied, in order to show that their Topological Entropies are positive. Keywords: Topological Entropy. Transitive Maps. Horseshoes