Combinatorics and definability on the real line and the higher continuum

Das zentrale Thema dieser Arbeit betrifft die Definierbarkeit verschiedener Typen kombinatorischer Familien reeller Zahlen. Unter diesen Familien untersuchen wir im Detail die Definierbarkeit von Türmen und Ultrafiltern bezüglich niedrig projektiver Komplexität. Wir liefern positive Definierbarkeitsergebnisse im konstruierbaren Universum $L$ und zeigen, wie sie in anderen Modellen versagen, z.B. in Forcingerweiterungen von $L$ oder im Solovay-Modell, in dem jede Menge reeller Zahlen Lebesgue-messbar ist. Unter anderem zeigen wir, dass, obwohl koanalytische Basen für $P$- und $Q$-Punkte in $L$ existieren, eine Basis für einen Ramsey-Ultrafilter niemals koanalytisch sein kann. In einem anderen Kapitel beweisen wir, dass nach dem Forcen über $L$ mit einer abzählbar gestützten Iteration von partiellen Ordnungen einer großen Klasse, einschließlich z.B. dem Sackforcing, die meisten Typen von ``maximalen'' Familien $\mathbf{\Delta}^1_2$-Definitionen haben. Dies kann zur Lösung eines offenen Problems von Brendle, Fischer und Khomskii verwendet werden. In einem zweiten Teil untersuchen wir die verallgemeinerten Pseudodurchschnitts- und Turmzahlen $\mathfrak p(\kappa)$ und $\mathfrak t(\kappa)$ auf überabzählbaren regulären Kardinalzahlen $\kappa$ und liefern Ergebnisse im Hinblick auf eine mögliche Verallgemeinerung von Malliaris' und Shelahs Beweis, dass $\mathfrak p = \mathfrak t$. Wir geben außerdem eine natürliche Weise an, $\mathfrak p(\kappa) < \mathfrak b(\kappa)$ zu forcen.The central topic of this thesis concerns the definability of various types of combinatorial families of reals. Among these families, we study in detail the definability of towers and of ultrafilters at the low projective levels. We provide positive definability results in the constructible universe $L$ and show how they fail in other models such as forcing extensions of $L$ or Solovay's model, in which every set of reals is Lebesgue measurable. Among other things, we show that, although coanalytic bases for $P$- and $Q$-points exist in $L$, a base for a Ramsey ultrafilter can never be coanalytic. In another chapter, we prove that after forcing over $L$ with countable support iterations of a large class of posets, including e.g Sacks forcing, most types of ``maximal" families of reals have $\mathbf{\Delta}^1_2$ witnesses. This can be used to solve an open problem of Brendle, Fischer and Khomskii. In a second part, we study the generalized pseudointersection and tower numbers $\mathfrak p(\kappa)$ and $\mathfrak t(\kappa)$ at uncountable regular cardinals $\kappa$ and provide results towards a possible generalization of Malliaris' and Shelah's proof that $\mathfrak p = \mathfrak t$. We also give a natural way to force $\mathfrak p(\kappa) < \mathfrak b(\kappa)$