L’algèbre de Hall des courbes et des carquois : fonctions cuspidales, faisceaux pervers et polynômes de Kac

This thesis aims to study several aspects of Hall algebras associated with curves and quivers. These algebras encode the extensions between the objects of the category of representations of a quiver or of coherent sheaves on a smooth projective curve. For quivers, they appeared in Ringel's work in his geometric construction of quantum groups. The Hall algebra of curves was first considered by Kapranov to understand the functional equations between Eisenstein series. In the first chapter, we explicitly describe the cuspidal functions of affine quivers. This work is based on Auslander-Reiten. In a second chapter, we are interested in the behavior of Kac polynomials when we increase the number of arrows. Asymptotic and convergence properties emerge. The third chapter deals with more geometric aspects: we prove that the simple perverse sheaves of the Lusztig category (a subcategory of the category of perverse sheaves on the stack of quiver representations) are characterized by the nilpotency of their singular support. Finally, the last chapter studies the analog of this question for elliptic curves. We show that the characteristic cycle gives an isomorphism between a completion of the Grothendieck group of the category of spherical Eisenstein sheaves on the stack of coherent sheaves on an elliptic curve and the group of integer-valued functions on the set irreducible components of the global elliptic nilpotent cone.Cette thèse a pour objet l'étude de plusieurs aspects des algèbres de Hall des courbes et des carquois. Ces algèbres encodent les extensions entre les objets de la catégorie des représentations d'un carquois ou des faisceaux cohérents sur une courbe projective lisse. Pour les carquois, elles sont apparues dans les travaux de Ringel dans sa construction géométrique des groupes quantiques. L'algèbre de Hall des courbes a été en premier considérée par Kapranov pour comprendre les équations fonctionnelles entre les séries d'Eisenstein. Dans un premier chapitre, on décrit explicitement les fonctions cuspidales des carquois affines. Ce travail repose la théorie d'Auslander-Reiten. Dans un deuxième chapitre, on étudie le comportement des polynômes de Kac lorsqu'on augmente le nombre de flèches du carquois. Des propriétés asymptotiques et de convergence émergent. Notre troisième chapitre aborde des aspects plus géométriques : nous démontrons que les faisceaux pervers simples de la catégorie de Lusztig (une catégorie de faisceaux pervers sur le champ de représentations du carquois) sont caractérisés par la nilpotence de leur support singulier. Enfin, le dernier chapitre étudie l'analogue de cette question pour les courbes. Nous démontrons que le cycle caractéristique donne un isomorphisme entre une complétion du groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux d'Eisenstein sphériques sur le champ des faisceaux cohérents sur une courbe elliptique et le groupes des fonctions à valeurs entières sur l'ensemble des composantes irréductibles du cône global nilpotent elliptique