Prevention and insurance : contributions to actuarial, cognitive and dynamic approaches

Cette thèse de doctorat porte sur la modélisation de l’effort de prévention et de sa relation avec l’assurance de marché. Chacun des chapitres la composant, tente de capturer différents aspects de cette problématique, de l’étude d’un critère conforme aux pratiques actuarielles à celui du côté de l’offre en assurance, en passant par l’inclusion de biais de perception du risque et par une approche de la prévention en temps dynamique. Le chapitre 1 modélise la relation entre un assureur et un assuré sous la forme d’un jeu de Stackelberg. Dans ce jeu, l’assureur joue en premier en proposant un contrat d’assurance sous la forme d’un facteur de chargement. L’assuré joue ensuite en choisissant le taux de couverture et son effort de prévention optimaux. L’assuré comme l’assureur ont pour but de minimiser leurs mesures de risque respectives qui sont toutes deux cohérentes. Les effets respectifs de l’auto-assurance et l’auto-protection, sur la minimisation du risque seront étudiés. Dans chaque cas, il sera montré que les choix optimaux de l’assuré existent et le contrat optimal pour l’assureur sera caractérisé. De plus, il sera montré que si la mesure de risque de l’agent décroit plus rapidement que l’espérance de sa perte, alors l’effort optimal est croissant avec le facteur de chargement avec une discontinuité potentielle lorsque la couverture optimale passe de complète à nulle. Cependant, dans le cas contraire l’effort optimal peut être croissant ou décroissante en fonction du facteur de chargement. Le chapitre 2 étudie la relation entre auto-assurance et assurance de marché également sous la forme d’un problème d’optimisation pour un agent. De manière similaire au chapitre 1, cet agent doit déterminer le taux de couverture et l’effort de prévention qui réduiront de manière optimale sa mesure de risque. La mesure de risque considérée est dite de distorsion et est définie à partir d’une fonction de distorsion non concave. Ceci permet de tenir compte de biais cognitifs individuels potentiels dans la perception du risque. La caractérisation de la solution optimale pour l’agent permet d’apporter une nouvelle conclusion dans la relation entre auto-assurance et assurance de marché. L’auto-assurance n’est plus seulement substituable à l’assurance de marché, elle peut être également complémentaire à celle-ci, suivant la sensibilité de l’effort de prévention au prix de l’assurance. Le chapitre 3 se concentre sur l’auto-protection en proposant un problème de maximisation d’utilité espérée en version dynamique. Ceci se présente sous forme d’un problème de contrôle stochastique dans lequel l’agent choisit sa couverture assurantielle et son effort de prévention qui est dynamique. Le problème peut être séparé en deux sous-problèmes, le premier est une optimisation en l’effort et le second en la couverture assurantielle. Comme l’individu veut obtenir la richesse finale la plus importante possible, il cherche à maximiser l’espérance de l’utilité exponentielle de cette richesse. La richesse de l’agent peut être vue comme la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde à saut, cette équation admet une unique solution et qui est de plus explicite. En particulier, on obtient que l’effort optimal d’auto- protection est constant. La distribution initiale du processus de perte, quand il n’y a pas d’effort, est donnée par un processus de Poisson composé qui est notamment un processus de Lévy. Obtenir un effort optimal constant signifie donc que la propriété de Lévy des processus est préservée par la maximisation d’une espérance d’utilité exponentielle. L’analyse du problème en la couverture assurantielle donne une condition suffisante pour obtenir l’existence d’un niveau de couverture optimal. L’individu pourra alors souscrire à une assurance en fournissant un effort de prévention qui lui permettra de maximiser sa satisfaction ou bien choisir de ne pas souscrire au contrat mais en prenant toutefois part à des actions d’auto-protectionThis PhD dissertation studies the modeling of prevention effort and its relation to market insurance. The three chapters capture different aspects of this problematic, from the investi- gation of a criteria more in line with actuarial practices to a study of the insurer’s point of view and by examining the effect of risk perception biases and the effect of a continuous-time framework. Chapter 1 models the relationship between an insurer and an insured in the form of a Stack- elberg game. In this game, the insurer plays first by offering an insurance contract in the form of safety loading. The insured then plays by choosing the optimal non-proportional in- surance share and prevention effort. Both the insured and the insurer aim to minimize their respective risk measures, which are both coherent. The respective effects of self-insurance and self-protection actions on risk minimization will be studied. In each case, it will be shown that the optimal choices of the insured exist and the optimal contract for the insurer will be characterized. In addition, we show that if the buyer’s risk measure decreases faster in effort than his expected loss, optimal effort is non-decreasing in the safety loading with a potential discontinuity when optimal coverage switches from full to zero. On the contrary, if the de- crease of the buyer’s risk measure is slower than the expected loss, optimal effort may or may not be non-decreasing in the safety loading. Chapter 2 also studies the relationship between self-insurance and market insurance in the form of an optimization problem for an economic agent. Similarly to Chapter 1, this agent determines the non-proportional insurance share and the prevention effort that will optimally reduce his risk measure. In this chapter, the risk measure considered is a distortion risk and is defined from a non-concave distortion function. This makes it possible to take into account potential individual cognitive biases in the perception of risk. The characterization of the optimal solution for the agent allows to bring a new conclusion in the relation between self-insurance and market insurance. Self-insurance is no longer only substitutable for market insurance, it can also be complementary to the latter, depending on the sensitivity of the prevention effort to the price of the insurance. Chapter 3 focuses on self-protection in the form of a problem of expected utility maximization in time-dynamic version. This takes the form of a stochastic control problem in which the agent chooses his insurance coverage and his prevention effort which is time-dynamic. The problem can be separated into two sub-problems, the first is the optimization in the effort and the second is in the insurance coverage. As the individual wants to obtain the greatest possible final wealth, he seeks to maximize the expectation of the exponential utility of this wealth. The wealth of the agent can be seen as the solution of a backward stochastic differential equation with jumps, we show that this equation admits a unique solution that is also explicit. In particular, we obtain that the optimal prevention effort is constant. The initial distribution of the loss process, when there is no effort, is given by a particular Lévy process: a compound Poisson process. The fact that the optimal effort is constant says that the Lévy property is preserved under exponential utility maximization. The analysis of the insurance coverage optimization gives a sufficient condition to obtain the existence of an optimal level of coverage. The individual can then take out insurance by providing a prevention effort that will allow him to maximize his satisfaction or choose not to take out the contract but nevertheless take part in self-protection action