Traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii : equation analysis and simulations

Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non locale avec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienne apparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou la condensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii fait l’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans le cas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation de Gross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premier chapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans le cas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présente un comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite, nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressives non triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuve est basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et le principe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisante en dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthode de gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin de calculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans ces deux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interaction non locale.This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform