Mathematical and numerical methods for modeling and computing the cyclic steady states in non-linear mechanics

Ce travail a pour objet l’étude des techniques rapides pour calculer l’état cyclique établi des problèmes d’évolution en mécanique non-linéaire avec des conditions de périodicité en espace-temps. Un exemple typique est le roulage stationnaire d’un pneu présentant des sculptures périodiques, où l’état en chaque point est le même que l’état observé au point correspondant de la sculpture suivante une période en temps auparavant.L’application de solveurs directs pour la solution de tels problèmes est impossible car ils exigent l’inversion des matrices gigantesques. Pour résoudre ce genre de problèmes, les logiciels de calcul utilisés dans l’industrie recherchent une telle solution cyclique comme la limite asymptotique d’un problème à valeur initiale avec des données initiales arbitraires. Cependant, quand le temps de relaxation du problème physique est élevé, la vitesse de convergence vers le cycle limite peut devenir trop lente. Comme on ne s’intéresse pas à la solution transitoire et que seul importe d’avoir un accès rapide au cycle limite, le développement des méthodes qui accélèrent la convergence vers le cycle limite sont d’un grand intérêt. Ce travail développe, étudie et compare deux techniques d’analyse et de calcul rapide de la solution périodique en espace-temps.La première est la méthode de Newton-Krylov, qui considère l’état initial comme l’inconnue du problème à calculer à partir de la condition de périodicité. Le problème résultant est résolu par l’algorithme de Newton-Raphson. Comme le Jacobien associé ne s’exprime pas explicitement mais uniquement implicitement à travers son action par multiplication, il est nécessaire d’introduire des solveurs itératifs de type Krylov. Par réutilisation optimale de l’information obtenue sur le Jacobien pendant le calcul du résidu, la résolution du système linéaire par algorithme de Krylov devient très rapide et de faible coût par rapport au calcul de l’erreur de périodicité. Cette technique de calcul peut être vue comme une méthode de tir. Mais nous l’écrivons ici par changement de variables sous la forme d’une méthode de type observateur-contrôleur, qui corrige la solution transitoire après chaque cycle et accélère ainsi la convergence vers la limite cyclique.La deuxième méthode de calcul et d’analyse proposée dans ce travail met en œuvre une modification du problème d’évolution initial en y introduisant un terme de contrôle rétroactif, basé sur l’erreur de périodicité. Le contrôle rétroactif est un outil bien connu et puissant dans le cadre de la stabilisation des orbites périodiques instables des processus chaotiques. Dans le cadre de ce travail, il est appliqué à un système initialement stable pour accélérer la convergence vers la limite cyclique. De plus, le terme de contrôle inclut les décalages en temps ainsi qu’en espace, ce qui complique son analyse. L’enjeu est ici de construire l’opérateur de gain à appliquer à l’erreur de périodicité dans le terme de contrôle. Dans un cadre linéaire très général, après décomposition spectrale et introduction des fonctions de Lambert, nous pouvons analyser explicitement l’existence et la convergence de solutions en temps, et construire la forme optimale du gain qui assure la convergence la plus rapide vers la solution cyclique. L’efficacité de la méthode proposée croit avec le temps de relaxation du problème. L’algorithme est présenté sous la forme d’un schéma prédicteur-correcteur en temps, où l’étape de correction est explicite et de très faible coût numérique. Sous cette forme, le contrôle proposé a été adapté et testé sur des problèmes non-linéaires. Les deux méthodes ont été appliquées sur diverses applications académiques et comparées à la méthode asymptotique classique. Enfin, elles ont été intégrées et mises en œuvre dans le code industriel de Michelin pour application au roulage stationnaire d’un pneu complet avec sculptures périodiques en présence de forces de contact au sol en régime de frottement adhérant-glissant.This work is focused on fast techniques for computing the steady cyclic states of evolution problems in non-linear mechanics with space and time periodicity conditions. This kind of problems can be faced, for instance, in the beating heart modeling. Another example concerns the rolling of a tyre with periodic sculptures, where the cyclic state satisfies "rolling" periodicity condition, including shifts both in time and space. More precisely, the state at any point is the same that at the corresponding point observed at the next sculpture one time period ago.Direct solvers for such problems are not very convenient, since they require inversion of very large matrices. In industrial applications, in order to avoid this, such a cyclic solution is usually computed as an asymptotic limit of the associated initial value problem with arbitrary initial data. However, when the relaxation time is high, convergence to the limit cycle can be very slow. In such cases nonetheless, one is not interested in the transient solution, but only in a fast access to the limit cycle. Thus, developing methods accelerating convergence to this limit is of high interest. This work is devoted to study and comparison of two techniques for fast calculation of the space-time periodic solution.The first is the well-known Newton-Krylov shooting method, looking for the initial state, which provides the space-time periodic solution. It considers the space-time periodicity condition as a non-linear equation on the unknown initial state, which is solved using Newton-Raphson technique. Since the associated Jacobian can not be expressed explicitly, the method uses one of the matrix-free Krylov iterative solvers. Using information stored while computing the residual to solve the linear system makes its calculation time negligible with respect to the residual calculation time. On the one hand, the algorithm is a shooting method, on the other side, it can be considered as an observer-controller method, correcting the transient solution after each cycle and accelerating convergence to the space-time periodic state.The second method, considered in this work, is an observer-controller type modification of the standard evolution to the limit cycle by introducing a feedback control term, based on the periodicity error. The time-delayed feedback control is a well-known powerful tool widely used for stabilization of unstable periodic orbits in deterministic chaotic systems. In this work the time-delayed feedback technique is applied to an a priori stable system in order to accelerate its convergence to the limit cycle. Moreover, given the space-time periodicity, along with the time-delay, the feedback term includes also a shift in space. One must then construct the gain operator, applied to the periodicity error in the control term. Our main result is to propose and to construct the optimal form of the gain operator for a very general class of linear evolution problems, providing the fastest convergence to the cyclic solution. The associated control term can be mechanically interpreted.Efficiency of the method increases with the problem's relaxation time. The method is presented in a simple predictor-corrector form, where correction is explicit and numerically cheap. In this later form, the feedback control has been also adapted and tested for a nonlinear problem.The discussed methods have been studied using academic applications and they also have been implemented into the Michelin industrial code, applied to a full 3D tyre model with periodic sculpture in presence of slip-stick frictional contact with the soil, and then compared to the standard asymptotic convergence