De certaines conditions topologiques et dynamiques imposant une infinité d’orbites périodiques en dynamique hamiltonienne

In this thesis, we are studying topological and dynamical conditions imposing infinitely many periodic orbits for some dynamical systems. In a first part, weelaborate on theories of Givental and Théret based on generating functions in order to study the case of complex projective spaces. We find recent results back without appealing to the theory of J-holomorphic curves. Inparticular, we prove Shelukhin theorem showing a homology version of the Hofer-Zehnder conjecture. In a second part, we study the geodesic flow and show new results bringing examples of topological and dynamical conditions imposing infinitely manyclosed geodesics or geodesic chords. We give conditions under which the existence of one or two closed geodesics on a complete Riemannian plane,cylinder or Möbius band impose the existence of infinitely many closed geodesics. In particular, we show that a complete Riemannian cylinder (whose closed geodesics are isolated) has zero, one or infinitely many homologically visible closed geodesics ; it solves a conjecture of Alberto Abbondandolo. We also prove that every complete Finsler manifold with an infinite fundamental group that is not homotopy equivalent to a circle possesses infinitely many geometrically distinct geodesic chords joining any given pair of points. Results of this part are partially joint with Tobias Soethe.Dans cette thèse, nous nous intéressons aux conditions dynamiques ou topologiques imposant l’existence d’un nombre infini de trajectoires périodiques pour certains types de systèmes hamiltoniens. Dans une première partie, nous prolongeons les théories de Givental et Théret basées sur les fonctions génératrices afin d’étudier le cas des espaces projectifs complexes ; nous retrouvons ainsi des résultats très récents sans faire appel à la théorie J-holomorphe. Nous montrons, en particulier, le théorème de Shelukhin démontrant une version homologique de la conjecture de Hofer-Zehnder. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux flots géodésiques et démontrons de nouveaux résultats apportant des exemples de telles conditions dynamiques ou topologiques. Nous énonçons des conditions sous lesquelles la présence d'une ou deux géodésiques fermées géométriquement distinctes sur un plan, un cylindre ou un ruban de Möbius riemannien complet impose la présence d'une infinité de géodésiques fermées géométriquement distinctes. En particulier, nous montrons qu'un cylindre riemannien complet (dont les géodésiques fermées sont isolées) admet zéro, une ou une infinité de géodésiques fermées homologiquement distinctes ; cela répond à une question d'Alberto Abbondandolo. On prouve aussi que toute variété de Finsler complète de groupe fondamental infini et non homotopiquement équivalente à un cercle possède une infinité de géodésiques géométriquement distinctes joignant n'importe quelle paire de points. Les résultats de cette seconde partie sont partiellement issus d’une collaboration avec Tobias Soethe