ERNESTO CESARO E L'ORIGINE DELLA MODERNA TEORIA DELLE SERIE DIVERGENTI

La moderna teoria delle serie divergenti nasce nel 1890 con la pubblicazione da parte di Ernesto Cesàro, giovane ma già affermato matematico, di Sur la multiplication des séries nel quale viene definita quella che oggi è nota C-sommabilità. Tale nozione è per Cesàro il frutto di una lunga evoluzione che lo conduce dalle ceneri di un vecchio formalismo di gusto settecentesco verso una nuova concezione che è come una tappa significativa del processo di sviluppo verso il nuovo formalismo del Novecento e verso la matematica delle strutture. Nel sec. XVIII era diffusa una distinzione tra un modo formale e un modo numerico di intendere l'uguaglianza di espressioni analitiche. Nella concezione formalista l'uguaglianza f(x)= indica che LA SERIE è derivata da un'espressione analitica f(x) mediante regole che rappresentano sostanzialmente un'estensione infinitaria delle regole valida per espressioni finite. Nella concezione numerica f(x)= indica un'uguaglianza tra entità numeriche, ossia sostituendo alla variabile un valore numerico qualsiasi i due membri danno luogo allo stesso numero. Tale distinzione, base della famosa definizione di somma di una serie data Euler nel De seriebus divergentibus, è chiaramente esplicitata da Daniel Bernoulli [1771], il quale parla di somme false in concreto (ossia numericamente) ma tuttavia vere in abstracto (ossia formalmente), a proposito delle quali propone di usare il termine "ibrido" di somme incongruenter verae. All'inizio dell'Ottocento sulla concezione formalista si abbatte il veto di Cauchy, che nel suo corso di Analisi algebrica, in nome del rigore in matematica, ritiene che la validità di certe formule è sottoposta ad opportune condizioni e che un'uguaglianza f(x)=g(x) verificata per alcuni valori della variabile non può essere estesa indefinitivamente. Per Cauchy l'uguaglianza di due espressioni f(x) e g(x) deve essere intesa esclusivamente come uguaglianza numerica e, di conseguenza, egli è costretto ad ammettere proposizioni che a prima vista sembrano "un peu dures", prima fra tutte: "une série divergente n'a pas de somme", per cui "avant d'effectuer la sommation d'aucune séries peuvent être sommées, ou, en d'autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence" [1821, p.v]. Il programma di Cauchy fu da molti sentito come eccessivamente restrittivo. Infatti in tutto l'Ottocento sotto vari aspetti permase una notevole tradizione formalista la cui manifestazione più nota è il calcolo degli operatori. Il formalismo ottocentesco assunse un atteggiamento riduttivo e subordinato rispetto alla concezione numerica alla Cauchy. In genere esso insiste sull'aspetto convenzionale dei passaggi formali, rinviando, almeno in linea di principio, a una loro reinterpretazione numerica. La moderna nozione di somma di una serie divergente nasce quando si pone in rilievo l'aspetto convenzionale presente anche nella somma secondo Cauchy, idea espressa chiaramente da Cesàro nel 1890 e pienamente matura in Borel [1901, p.15], allorché dichiara: "On pourrait d'ailleirs ëtre amené [...] à attribuer plusieurs sommes différentes à une série divergente" e, in nota, aggiunge: "Et aussi à une série convergente." In quest'articolo viene analizzata l'origine della C-sommabilità attraverso la lenta maturazione di Cesàro. Egli si forma scientificamente in Belgio, ove ha per maestro l'anziano Catalan e vive in un ambiente culturale non aggiornatissimo. Catalan in particolare appare, nei suoi ultimi anni di vita, un fedele custode dell'ortodossia di Cauchy ed ostile alle nuove concezioni che si andavano sviluppando soprattutto in Germania. Ritornato in Italia, nel 1883, conosce le ricerche compiute nell'arretratissimo ambiente accademico napoletano ove non si teneva granché conto neanche dell'insegnamento di Cauchy. Nella sua giovinezza Cesàro si appassiona allo studio della teoria dei numeri e di varie tecniche formali, quali il calcolo simbolico e il calcolo isobarico, di cui fa un uso spregiudicato, applicandoli anche alle serie divergenti. Sono probabilmente i richiami di Catalan che fanno sentire a Cesàro la necessità di attribuire un significato rigoroso alle serie formali utilizzate come (1.1) = essendo Bp+1 i numeri di Bernoulli. Nell'ambito dei suoi studi di aritmetica asintotica Cesàro formula, nel 1883, una definizione di somma che esprime in termini asintotici la C-sommabilità. Tale definizione, dai modi assai arcaici, verrà, in seguito, maturata e rielaborata principalmente a causa dell'influenza dell'impostazione di Weierstrass e della sua scuola, con cui Cesàro si confronta dopo 1886. Egli, tra il 1886 e il 1888, compie un'analisi approfondita e originale delle nozioni di limite e di somma, la quale connettendosi alle ricerche sulla probabilità degli eventi aritmetici lo conducono, dapprima, a formulare una nozione probabilistica di limite e di somma e, infine, nel 1890, alla nozione, completamente moderna, di C-sommabilità