Абелева гипотеза Нива для областей произвольной формы

Гипотеза Нива связывает сложность и периодичность двумерных бесконечных слов. Вместо классической сложности можно рассматривать абелеву сложность и ее связь с периодичностью. По этому вопросу есть существенные результаты, например, если по всем прямоугольникам сложность не более двух, то слово обязано быть периодическим. В данной работе рассматриваются одномерные и двумерные бесконечные слова единичной абелевой сложности по некоторому паттерну. В одномерном случае единичная сложность гарантирует периодичность. В работе было найдено некоторое необходимое условие на паттерн для существования нетривиального бесконечного слова. Основной результат дипломной работы --- необходимое и достаточное условие на выпуклый паттерн для существования непериодического бесконечного двумерного слова.Nivat's conjecture gives a link between complexity and periodicity for two-dimensional words. In the thesis, we establish some connections between abelian complexity and periodicity. Some results on the topic have been proved before: for example, if abelian complexity by all rectangles is at most two, then the word is periodic. In the thesis, we consider words for which abelian pattern complexity is equal to 1 for some pattern. In the one-dimensional case we get that all words of this class are periodic. In the two-dimensional case an abelian version of Nivat's conjecture does not hold: There exists aperiodic words which have abelian complexity equal to one for some rectangles. In the thesis, we get a necessary and sufficient condition on a convex pattern to guarantee that all words which have abelian complexity equal to one by this pattern are fully periodic