Cauchy, Sturm et les racines des équations

International audienceRelying both on chronological data and textual analysis, this article seeks to determine the mutual influence between A.-L. Cauchy's and Ch.-F. Sturm's research from 1829 to around 1840 on the roots of algebraic equations. The first aim is to specify the elements of a micro-history, strictly limited in time and centered on a well-defined question, yet bound up with the endeavour to build up a mathematical physics at the beginning of the 19th century. The second aim pertains to philosophy of science; for two questions that underlie the to-and-fro motion between Cauchy and Sturm arise: 1° can algebraic methods replace the analytic methods currently employed then in the numerical solution of equations? 2° can algebra constitute an entirely autonomous field of study?S'appuyant à la fois sur les données chronologiques et sur l'analyse des textes concernés, cet article détermine les interférences entre les travaux consacrés, de 1829 à 1840 environ, par A.-L. Cauchy et par Ch.-F. Sturm aux racines des équations algébriques. Son premier objectif est donc de préciser les faits d'une micro-histoire étroitement bornée dans le temps et circonscrite à une question tout à fait déterminée quoiqu'inséparable des recherches engagées dans l'édification de la physique mathématique au début du XIXe siècle. Son deuxième objectif est d'ordre épistémologique. Car il met en évidence les deux questions sous-jacentes à ces allers et retours entre Cauchy et Sturm : 1° peut-on substituer des méthodes algébriques aux méthodes analytiques alors habituellement employées dans la résolution numérique des équations ? 2° l'algèbre peut-elle constituer un champ d'étude complètement autonome