L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée / université Savoirs, connaissances et conditions relatives à la validation

Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau des dernières classes de l'enseignementsecondaire français fait apparaître des variations importantes à chaque réforme depuis 1962,variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que les procédures conseillées par lesprogrammes et les manuels. Les méthodes préconisées conditionnent les connaissancesutilisables par les élèves pour effectuer les tâches prescrites, et l'équilibre connaissances /savoirs caractérise la place dévolue à la validation. Nous étudions les possibilités d'établir à ceniveau un rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre à l'élève de construire desconnaissances appropriées.Par ailleurs l’examen des registres et des ostensifs disponibles pour construire un milieupropre à l’enseignement des notions de fonction et de limite, fait apparaître des potentialitésnon exploitées dans les registres graphique et formel. Ceci conduit à construire et àexpérimenter dans la classe de première Scientifique, une situation pour l’enseignement de lanotion de fonction : la situation « Graphiques et Chemins » , et une situation pour unepremière approche de la notion de limite de suite : la situation du flocon.Les problèmes rencontrés dans la gestion des situations comportant une dimension adidactiqueamènent à s’interroger sur les connaissances que le professeur met en oeuvre pourgérer une situation d’enseignement comportant une telle composante, et sur une modélisationpossible du milieu du professeur.Un questionnaire est construit pour l’étude des connaissances sur l’analyse; son traitementstatistique a pour but de tester l’effectivité de l’apprentissage.Dans l’enseignement supérieur, l’étude de transcriptions de cours et de copies d’élèves permetde s’interroger sur les connaissances nécessaires à ce niveau, et sur l’articulation avecl’enseignement secondaire.En conclusion, nous proposons quelques pistes de réflexion sur l’équilibre connaissances /savoirs dans l’enseignement des débuts d’une théorie mathématique, et sur l’enseignementpossible, au niveau du secondaire, de connaissances requises dans la suite du cursus.The study of maths curriculum in the last grades of secondary schools in France along 30years brings to light important variations that took place since 1962 in the contents of calculusat this level. These evolutions concern the objects of calculus that are taught as well as theprocedures used by students and teachers. The suggested methods affect the knowledge thatstudents are likely to use when doing the given tasks; and we observe that since the 90ths', thetasks given to students do not valorise validation. We study the possibilities of establishing anreal relationship to the knowledge in calculus, at this level of teaching, and to allow thestudents to build appropriate methods.We study the question of validation in teaching analysis through the following directions:- the mathematical theory; its organisation; the methods of proof and the formalization; howthese methods can be introduced in the teaching, in a way that students can understand;- the existence of fundamental situations concerning the concepts of function and limit, andthe possibility of implement such situations in the class.Besides, the study of the different settings of representation that are at stake to build a suitableenvironment for the teaching of function and limit makes new potentialities come to light,particularly in the graphic and formal settings.The experimentation is carried through the building of situations with an a-didacticalcomponent for the teaching of function and limit, and through the observation of theirimplementation in a scientific class of 17 years-old students. This makes us first question theknowledge and professional knowing a teacher uses to manage a teaching situation inanalysis, with an a-didactical component, and then draw a pattern to the teacher’s milieu.We also submit a test to the students and analyse the results with statistic tools so as to testthe main features of the learning.In the last chapter we study lectures at undergraduate level, and student’s papers with lots oferrors about calculus definitions. This leads us to question the knowledge that is compulsoryat University level; we wonder how it is possible to link it with Secondary school's knowledgeand habits.As a conclusion, we shall suggest some remarks about the balance between definitiveknowledge and what students must get as an experience in the teaching of a newmathematical theory; this balance affects the possibilities of validation and finally, the futureprospects of teaching analysis from Secondary Schools to University