Approches didactique et cognitive d'un instrument technologique dans l'enseignement. Le cas du calcul formel en lycée.

This document is based largely on work conducted jointly by the DIDIREM laboratory and the Commission Inter-Irem Mathématiques et Informatique with support from the Ministry. It presents a synthesis of research about the introduction of computer algebra systems (CAS) in school Mathematics, a very pressing and timely issue. It is part of the research of conditions for the viability of technological tools in education. The first issue addressed is that of the technical / conceptual relationship: I show that the potential of CAS is not in the reduction of the technical dimension of the mathematical work that would be thought of as independent of or competing with a conceptual dimension, but in the availability of new techniques, interacting with the usual techniques and potentially supporting an approach to concepts. After that, I study the impact of CAS by considering new objects it introduces into teaching and learning situations, recognizing the sensitivity of mathematical activity to ostensives highlighted by a recent trend in mathematics education research. The complexity of the relationships between these objects and other objects of the mathematical work raises the question of their appropriation by students. I show how, to address this issue, recent studies have developed a cognitive approach to computer algebra instruments and how this approach reflects the variety of computer algebra uses by students, as well as the essential role that the teacher has to play for a successful integration.A statistical annex shows how implicative analysis has been used to determine, in an inferential perspective, students’ positioning with regard to symbolic calculation, showing how complex are the changes introduced by CAS.Cette habilitation est basée en grande partie sur des travaux menés en commun par le laboratoire DIDIREM et la commission Inter-Irem Mathématiques et Informatique avec le soutien du Ministère. Elle présente une synthèse des recherches sur l'introduction du calcul formel dans l'enseignement scolaire des mathématiques, question dont l'actualité est très forte. Elle s'inscrit dans la recherche des conditions de viabilité d'un moyen technologique dans l'enseignement. La première question abordée est celle des rapports technique/conceptuel : je montre que les potentialités du calcul formel ne sont pas dans la diminution d'une dimension technique du travail mathématique, qui serait pensée comme indépendante ou concurrente d'une dimension conceptuelle, mais dans la disponibilité de nouvelles techniques, interagissant avec les techniques habituelles et susceptibles de servir de point d'appui pour aborder les concepts. J'étudie ensuite l'impact du calcul formel en m'intéressant aux objets nouveaux qu'il introduit dans les situations d'enseignement et d'apprentissage, retrouvant en cela la sensibilité de l'activité mathématique aux ostensifs, que souligne un courant récent de la didactique des mathématiques. La complexité des rapports entre ces objets et les autres objets du travail mathématique pose la question de la façon dont les élèves peuvent se les approprier. Je montre comment, pour aborder cette question, des travaux récents ont développé une approche cognitive des instruments de calcul formel et comment cette approche rend compte de la diversité des utilisations du calcul formel par les élèves, ainsi que du rôle essentiel que l'enseignant a à jouer pour une intégration réussie. Une annexe statistique présente la façon dont l'analyse implicative a pu être utilisée pour déterminer, dans une perspective inférentielle, des positionnements d'élèves utilisateurs du calcul formel, révélateurs de la complexité des modifications introduites par le calcul formel