Desenvolvendo o pensamento algébrico no 2.º ciclo do ensino básico: o sentido dos símbolos e da generalização

Dissertação apresentada à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção do grau de mestre em Educação Matemática na Educação Pré-escolar e nos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino BásicoO objetivo deste estudo é analisar o modo como alunos do 2.º Ciclo evoluem no desenvolvimento do seu pensamento algébrico, nomeadamente no que diz respeito ao uso das letras e expressões algébricas, no quadro de uma experiência de ensino sobre proporcionalidade direta e regularidades, baseada em tarefas de cariz exploratório, contextualizadas e com potencial algébrico a explorar no contexto de uma cultura de aula que valoriza a comunicação Matemática. Para tal procura-se compreender i) que tipo de representações adotam os alunos para representar as suas ideias algébricas, ii) que sentido atribuem os alunos às letras e às expressões algébricas e, iii) que estratégias privilegiam os alunos para lidar com tarefas de proporcionalidade direta e sequências e regularidades. A metodologia assume o design de estudo de caso de natureza qualitativa, de uma turma de 6.º ano de escolaridade em que a professora de Matemática é simultaneamente a investigadora, constituindo deste modo uma investigação sobre a própria prática. A recolha de dados recorreu a fontes diversas como gravações vídeo e áudio dos momentos de apresentação e discussão coletiva das tarefas, um diário de bordo e as produções escritas dos alunos resultantes da exploração das tarefas. As categorias consideradas na análise de dados mantêm uma relação direta com o objetivo do estudo e as questões de investigação e encontram-se contempladas num quadro teórico estabelecido no capítulo da revisão da literatura. Os resultados mostram que os alunos recorrem preferencialmente a tabelas para representar e organizar os dados, e para procurar estabelecer, posteriormente, relações entre as variáveis. A generalização é expressa, quase sempre, através de expressões numéricas ou algébricas, sendo estas últimas geradas a partir das expressões numéricas usadas no estudo de casos particulares. Às letras é, regra geral, atribuído o significado de variável. Para tal contribuiu, provavelmente, a natureza das tarefas, que evidenciam a existência de duas grandezas e encorajam a procura de relações entre elas. É ainda de realçar a importância dos momentos de discussão coletivas, que contribuíram de forma significativa para que as letras e as expressões algébricas mantivessem uma ligação aocontexto das situações propostas nas tarefas. No estudo de casos particulares e na procura da generalização prevalecem estratégias intuitivas, essencialmente de natureza multiplicativa, sendo possível identificar estratégias escalares e funcionais. Contudo, verificou-se que alguns alunos ainda empregam estratégias aditivas de construção, designadas por building-up.ABSTRACT The purpose of this study is to analyse the way primary students develop their algebraic thinking, mainly the use of letters and algebraic expressions, in the context of a teaching experiment about proportionality and regularities. This experiment is based upon contextualised exploratory tasks, with algebraic potential to develop in the context of a teaching concept valuating mathematical communication. We intend to understand i) the type of representations students adopt to represent their algebraic ideas ii) the meaning students give to letters and algebraic expressions and iii) the strategies they favour to deal with proportionality and sequences and regularities. This study adopts the methodology of a study case of qualitative nature. The sample group, a sixth year class, was taught by the researcher herself, thus implying a research about the investigator’s own teaching effectiveness. The study data were collected from audio and video recordings in presentation and discussion tasks in class and the students’ writings following exploratory tasks. The data analysing is directly related to the purpose of this study and the issues under investigation as well as the theoretical framework presented in the literature review chapter. The results of this study show that learners make use of tables to represent and organise the data and then to establish the relationship among the variables. Generalization is often expressed through numerical or algebraic expressions. These are generated from numerical expressions used in the study of specific cases. Letters are usually meant as variables due to the nature of the tasks which highlight two values and motivate the search for relationships among them. We must also emphasize the discussions contribution to keep the letters and algebraic expressions related to the contexts proposed in the tasks. Intuitive strategies, essentially multiplicative strategies but also scalar and functional strategies prevail in the study of particular cases and in the search for generalization. It was also found that some learners still use additive strategies or building-up