Stabilité et dynamique d'écoulements de fluides parfaits barotropes autour d'un obstacle en présence de dispersion

Pierre COULLET, rapporteur Laurent LIMAT, examinateur Caroline NORE, examinateur Dominique SALIN, président Laurette TUCKERMAN, rapporteurThis thesis presents a series of works all dealing with extended nonlinear Hamiltonian systems including a saddle-node bifurcation. In the first part of this manuscript, we study the transition to dissipation of one-dimensional systems subjected to a local forcing and described by sine-Gordon or nonlinear Schrödinger equations (NLSE). We analytically compute the stationary states of these equations and characterize the dynamical behavior near these stationary solutions close to the bifurcation. When a gap in the dispersion relation exists, the dynamics is that of Hamiltonian systems. Conversely, when there is no gap in the dispersion relation, the dynamics of the system is coupled with the emission of sound waves that stands for an effective damping. The behavior is then typical of dissipative systems; we also show that the temporal eigenmodes undergo a spatial delocalization. The second part of this thesis is devoted to the study of two types of two-dimensional flow past an obstacle of perfect barotropic fluids: a superflow described by the NLSE and a free surface flow in the shallow water limit, with dispersive effects due to capillary forces. When the dispersive effects tend to zero, both flows have the limit of an Eulerian compressible flow with a boundary layer close to the obstacle that can be computed analytically. Using branch following methods based on pseudo-spectral methods, we calculate the bifurcation diagram of both flows. At supercritical regime, we show that in the case of the NLSE, the system starts emitting excitations, the nature of which depends on the ratio of the coherence length on the obstacle size. In the case of the shallow water flow, this emission is replaced by a finite time singularity at which dewetting occurs.Cette thèse regroupe une série de travaux ayant tous trait à des systèmes hamiltoniens non linéaires spatialement étendus présentant une bifurcation nœud-col. Elle est constituée de deux parties. Nous étudions dans une première partie la transition à la dissipation de systèmes unidimensionnels soumis à un forçage local et régis par des équations de type sine-Gordon ou Schrödinger non linéaire (ESNL). Nous en calculons analytiquement les solutions stationnaires et caractérisons le comportement dynamique au voisinage de celles-ci près de la bifurcation. Lorsque la relation de dispersion des systèmes possède une fréquence de coupure, le comportement dynamique est caractéristique de systèmes hamiltoniens. A contrario, lorsque la relation de dispersion ne possède pas de fréquence de coupure, la dynamique du système se couple avec l'émission d'ondes sonores qui joue le rôle d'un amortissement effectif. Elle devient alors typique de systèmes dissipatifs. En outre, les modes propres temporels du système subissent une délocalisation spatiale. La seconde partie de la thèse concerne l'étude de deux types d'écoulements bidimensionnels de fluides parfaits barotropes autour d'un obstacle : un écoulement décrit par l'ESNL et un écoulement à surface libre dans l'approximation eau peu profonde, où sont pris en compte les effets dispersifs dus aux effets de tension de surface. Lorsque la longueur caractérisant la dispersion des ondes sonores tend vers zéro, ces deux écoulements se réduisent à l'écoulement autour d'un disque d'un fluide eulérien compressible, auquel se superpose une couche limite que nous calculons analytiquement. Par des méthodes de suivi de branches fondés sur des développements pseudo-spectraux, nous calculons le diagramme de bifurcation complet des deux écoulements. En étudiant la dynamique des deux systèmes au-delà de la bifurcation, nous mettons en évidence une émission d'excitations (dans le cas de l'ESNL) dont la nature dépend du rapport de la longueur de cohérence sur la taille de l'obstacle. Dans le cadre de l'écoulement en eau peu profonde, cette émission est remplacée par une singularité à temps fini de démouillage