PROBLÈME DE GOURSAT POUR DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES AVEC CONDITIONS DE LEVI

We study in this thesis a Goursat problem for systems of partial derivative equations with the Levi conditions . We improve the results of Pr D. Gourdin which studied the Cauchy problem in Sobolev and C-infini spaces on R_t × R_x^n for the matrix operators not strictly hyperbolic with double characteristics by calculating the domain of dependence in the first part of this thesis while pointing out the detail of the demonstrations used. In the second part of this thesis, we study the Goursat problem in Sobolev spaces for a system of Nequations to N unknown functions of the variables (t, x, y) in R_t × R_x × R_y^n .This system can be described as a composition of two linear partial differential with matrix coefficients hyperbolic, respectively in the direction of t forthe first and in the direction of x for the second with double characteristics and scalar conditions of Levi and with one matrix operator with on additiveresidual specific matricial partial differential operators. The data of the Goursat problem are on t = 0 and x = 0. Then, we calculate the domain of dependence of Goursat problem .Nous étudions dans cette thèse un problème de Goursat pour des systèmes d'équations aux dérivées partielles avec les conditions de Levi. Nous amélioronsles résultats du Pr D. Gourdin qui a étudié le problème de Cauchy linéaire dans les espaces de Sobolev et dans les espaces C-infini sur R_t × R^n_x pour les opérateursmatriciels faiblement hyperboliques à caractéristiques doubles en calculant le domaine de dépendance dans la première partie de cette thèse tout en rappelant le détail des démonstrations utilisées en les améliorant sur les diagonaliseurs. Dans seconde partie, nous étudions le problème de Goursat dans les espaces de Sobolev pour un système de N équations à N fonctions inconnues des variables (t, x, y) dans R_t×R_x×R_y^n.Ce système peut être décrit comme une composition de deux opérateurs aux dérivées partielles à coefficients matriciels hyperboliques respectivement dansla direction de t pour le premier et dans la direction de x pour le second avec des caractéristiques doubles et des conditions de Levi scalaires et avec un opérateur matriciel aux dérivées partielles additif résiduel spécifique. Nous calculons aussi le domaine de dépendance du problème de Goursat dont ses données sont sur t = 0 et x = 0