Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance

We develop a grid based numerical approach to solve a filtering problem, using results on optimal quantization of random variables. We construct two filtering algorithms using zero order and first order approximation techniques. We suggest implementable versions of these algorithms and study the approximation error behavior by considering the stationnary property of optimal quantizers. The grid approach is then compared to the particle one based on Monte Carlo methods. The study is done over a set of different state models. In a second part, we have been interested in the advantadge given by quantization methods to preprocess offline the information. This permitted to develop a filtering algorithm based on observation (and signal) quantization. Here also the error convergence rate to zero as the quantizer size goes to infinity is studied. Finally, the quantization of the filter as a random variable is studied in order to solve a problem of pricing an American option in an unobserved stochastic volatility market. All results are illustrated by numerical experimentsNous développons une approche de résolution numérique du filtrage par méthode de grille, en utilisant des résultats de quantification optimale de variables aléatoires. Nous mettons en oeuvre deux algorithmes de calcul de filtres utilisant les techniques d'approximation du type ordre 0 et ordre 1. Nous proposons les versions implémentables de ces algorithmes et étudions le comportement de l'erreur des approximations en fonction de la taille des quantifieurs en s'appuyant sur la propriété de stationnarité des quantifieurs optimaux. Nous positionnons cette approche par grille par rapport à l'approche particulaire du type Monte Carlo à travers la comparaison des deux méthodes et leur expérimentation sur différents modèles d'états. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à l'avantage qu'offre la quantification pour le prétraitement des données offline pour développer un algorithme de filtrage par quantification des observations (et du signal). L'erreur est là aussi étudiée et un taux de convergence est établi en fonction de la taille des quantifieurs. Enfin, la quantification du filtre en tant que variable aléatoire est étudiée dans le but de la résolution d'un problème d'évaluation d'option américaine dans un marché à volatilité stochastique non observée. Tous les résultats sont illustrés à travers des exemples numériques