Indices analytiques à support compact pour des groupoïdes de Lie

For any Lie groupoid, we construct an analytic index morphism taking values in a modified K-theory group which involves the convolution algebra of compactly supported smooth functions over the groupoid. The construction is performed by using a suitable deformation algebra of smooth functions over the tangent groupoid, constructed in this work. This allows in particular to prove a more primitive version of the Connes-Skandalis Longitudinal index Theorem for foliations, that is, an index theorem taking values in a group that can still paired with Cyclic cocycles. As another application, let D be a G-PDO elliptic operator with associated index ind(D)€ K_0(A) (with A the convolution algebra), we have that the pairing of ind(D) with a bounded continuous cyclic cocycle, only depends on the principal symbol class of D. The result is completely general for Etale groupoids.Pour un groupoïde de Lie, on construit un morphisme d'indice analytique à valeurs dans un certain quotient de la K-théorie de l'algèbre de convolution de fonctions lisses à support compact. La construction est aboutie grâce à l'introduction d'une algèbre de déformation de fonctions lisses sur le groupoïde tangent. Ceci permet en particulier de montrer une version plus primitive du théorème de l'indice longitudinal de Connes-Skandalis for Foliations, c'est à dire, un théorème de l'indice qui prend ses valeurs dans un groupe qui peut être accouplé avec des cocycles cycliques. Une autre application est la suivante: soit D un G-opérateur pseudodifférential eliiptique avec indice ind(D)€K_0(A) (où A est l'algèbre de convolution), alors l'accouplement de ind(D) avec un coycle cyclique borné ne dépend que de la classe du symbole principal de D. Ce résultat est général pour des goupoïdes étale