Problèmes inverses et analyse en ondelettes adaptées

One treats the Hausdorff moment problem, the deconvolution on the sphere one and the problem of regression in random design as well. The first two problems constitute ill-posed inverse problems. We provide a statistical approach to the Hausdorff classical moment problem. We prove a lower bound on the rate of convergence of the mean integrated squared error and provide an estimator which attains minimax rate over the corresponding smoothness classes. We provide a new algorithm for the treatment of deconvolution on the sphere which combines the traditional SVD inversion with an appropriate thresholding technique in a well chosen new basis. We establish upper bounds for the behaviour of our procedure for any Lp loss which turns out to be adaptive. We also perform a numerical study which proves that the procedure shows very promising properties in practice as well. Finally we treats the regression problem in a random design setting. We investigate asymptotic optimality under minimax point of view of various Bayesian rules based on warped wavelets and show that they nearly attain optimal minimax rates of convergence over the Besov smoothness class considered. We discuss their simulation performances comparing them with a hard thresholding procedure.Nous abordons l'étude de deux problèmes inverses, le problème des moments de Hausdorff et celui de la déconvolution sur la sphère ainsi qu'un problème de régression en design aléatoire. Le problème des moments de Hausdorff consiste à estimer une densité de probabilité à partir d'une séquence de moments bruités. Nous établissons une borne supérieure pour notre estimateur ainsi qu'une borne inférieure pour la vitesse de convergence, démontrant ainsi que notre estimateur converge à la vitesse optimale pour les classes de régularité de type Sobolev. Quant au problème de déconvolution sur la sphère, nous proposons un nouvel algorithme qui combine la méthode SVD traditionnelle et une procédure de seuillage dans la base des Needlets sphériques. Nous donnons une borne supérieure en perte Lp et menons une étude numérique qui montre des résultats fort prometteurs. Le problème de la régression en design aléatoire est abordé sous le prisme bayésien et sur la base des ondelettes déformées. Nous considérons deux scenarios de modèles a priori faisant intervenir des gaussiennes à faible et à grande variance et fournissons des bornes supérieures pour l'estimateur de la médiane a posteriori. Nous menons aussi une étude numérique qui révèle de bonnes performances numériques