Approximations parcimonieuses et problèmes inverses en acoustique

In this work, we construct sparse approximations of acoustic fields, as well as methods for solving inverse problems based on these approximations. The approximation of solutions of the Helmholtz equation is extended to the solutions of plate vibration models, which allows the design of an alternative numerical method for the computation of plate eigenmodes. Some inverse problems are then studied, using these approximations results. The first is nearfield acoustical holography, for which we develop a new regularisation scheme, as well as a random antenna. These two tools allow the reduction of the number of measurements needed for a good reconstruction of the operational deflection shapes to be recovered. Spatial interpolation of plate impulse responses is then studied. Using the approximation models, we show that we can measure the plate impulse responses with fewer measurements than needed by the Shannon sampling theorem, by choosing the sampling strategy justified by a theoretical analysis. Finally, we developped new algorithms for source localisation in an enclosed space. We show that using approximation models of acoustical fields, source localisation is possible without any prior on the space where the waves propagate.Cette thèse présente d'une part, la construction d'approximations parcimonieuses de champs acoustiques, d'autre part l'utilisation de ces approximations pour la résolution de problèmes inverses. L'approximation de solutions de l'équation d'Helmholtz est étendue à des modèles de vibration de plaques, ce qui, entre autres, permet également de concevoir une méthode de calcul de mode propres alternative aux méthodes de référence. Différents problèmes inverses sont ensuite étudiés, en se basant sur ces résultats d'approximation. Le premier est l'holographie acoustique en champ propre, pour laquelle nous développons une nouvelle méthode de régularisation, ainsi qu'une antenne aléatoire permettant de réduire le nombre de mesures nécessaires à la reconstruction de déformées opérationnelles de plaques. Le deuxième problème inverse étudié est l'interpolation spatiale de réponses impulsionnelles de plaques, où nous montrons qu'en mesurant le champ vibratoire sur un ensemble d'échantillons bien choisi (justifié par une analyse théorique), les réponses impulsionnelles d'une plaque peuvent être obtenues avec moins de mesures que demandées par le théorème d'échantillonnage de Shannon. Enfin, le problème de la localisation de sources dans un espace clos réverbérant est étudié. Nous montrons qu'en utilisant des modèles parcimonieux d'ondes, la localisation est possible sans connaissances a priori sur les conditions aux limites du domaine de propagation des ondes