Construction et analyse numérique de schéma asymptotic preserving sur maillages non structurés. Application au transport linéaire et aux systèmes de Friedrichs

The transport equation in highly scattering regimes has a limit in which the dominant behavior is given by the solution of a diffusion equation. The angular discretizations like the discrete ordinate method Sn or the truncated spherical harmonic expansion Pn have the same property. For such systems it would be interesting to construct finite volume schemes on unstructured meshes which have the same dominant behavior even if the mesh is coarse (these schemes are called asymptotic preserving schemes). Indeed these models can be coupled with Lagrangian hydrodynamics codes which generate very distorted meshes. To begin we consider the lowest order angular discretization of the transport equation that is the P1 model also called the hyperbolic heat equation. After an introduction of 1D methods, we start by modify the classical edge scheme with the Jin-Levermore procedure, this scheme is not valid in the diffusion regime because the limit diffusion scheme (Two Points Flux Approximation) is not consistent on unstructured meshes. To solve this problem we propose news schemes valid on unstructured meshes. These methods are based on the nodal scheme (GLACE scheme) designed for the acoustic and dynamic gas problems, coupled with the Jin-Levermore procedure. We obtain two schemes valid on unstructured meshes which give in 1D on the Jin-Levermore scheme and the Gosse-Toscani scheme. The limit diffusion scheme obtained is a new nodal scheme. Convergence and stability proofs have been exhibited for these schemes. In a second time, these methods have been extended to higher order angular discretisation like the Pn and Sn models using a splitting strategy between the lowest order angular discretization and the higher order angular discretization. To finish we will propose to study the discretization of the absorption/emision problem in radiative transfer and a non-linear moment model called M1 model. To treat the M1 model we propose to use a formulation like a dynamic gas system coupled with a Lagrange+remap nodal scheme and the Jin-Levermore method. The numerical method obtained preserve the asymptotic limit, the maximum principle, and the entropy inequality on unstructured meshes.L'équation de transport, dans le régime fortement collisionnel admet une limite asymptotique de diffusion. Les discrétisations angulaires comme la méthode des ordonnées discrètes Sn où le développement tronqué en harmonique sphérique Pn préservent aussi cette limite de diffusion. Par conséquent, il est intéressant de construire pour de tels systèmes des méthodes de volumes finis sur maillages non structurés qui préservent cette limite de diffusion pour des grilles grossières. En effet, ces modèles peuvent être couplés avec des codes hydrodynamiques Lagrangiens qui génèrent des maillages très tordus. Pour commencer, on considère la discrétisation angulaire la plus simple de l'équation de transport appelée le modèle P1. Après une rapide introduction sur les méthodes 1D, on commence par modifier le schéma acoustique en dimension deux avec la méthode de Jin-Levermore. Le schéma ainsi obtenu n'est pas convergent dans le régime de diffusion car le schéma de diffusion valide n'est pas consistant sur maillages non structurés. Pour résoudre ce problème, on a proposé de nouvelles méthodes valides sur maillages non structurés. Ces méthodes sont basées sur un autre formalisme des méthodes de volumes finis ou les flux sont localisés aux interfaces, couplé avec la méthode de Jin-Levermore. On obtient deux schémas convergents qui dérivent sur les schémas asymptotic preserving 1D. Le schéma limite de diffusion obtenu est un nouveau schéma pour lequel on a donné une preuve de convergence. Dans un second temps, on a proposé une extension du travail réalisé pour le modèle P1 dans le cadre des discrétisations angulaires d'ordres élevés. Pour obtenir une discrétisation asymptotic preserving pour ces modèles on a utilisé une décomposition entre la discrétisation angulaire de premier ordre et les discrétisations angulaires d'ordres supérieurs. Enfin on a étudié la discrétisation du problème d'absorption/émission présent en transfert radiatif ainsi que la discrétisation du modèle non linéaire M1. L'approximation du modèle M1 est basé sur un couplage entre un schéma Lagrange+projection pour une reformulation du modèle M1 et la méthode de Jin-Levermore. La méthode numérique obtenue préserve la limite asymptotique, l'inégalité d'entropie et le principe du maximum associé au système sur maillages non structurés