Problèmes de contrôle et équations hyperboliques non-linéaires

In this thesis, we study some problems from control theory on several models from fluid mechanics.\par In chapter one, we study the Camassa-Holm equation on a compact interval. After introducing our boundary conditions and a notion of weak solution, we prove an existence result and a weak-strong uniqueness result for the non-homogeneous initial boundary value problem. In a second part, we establish a result on the global asymptotic stabilization problem by means of a boundary feedback law. In chapter two, we study the exact controllability problem for a 1-D scalar conservation law with convex flux, on a compact interval and in the context of entropy solution. We provide several sufficient conditions for a BV function to be reachable in any time and from any initial data in BV. We control the equation by means of the boundary data and also through a source term acting uniformly in space.\par Finally in chapter three, we investigate the asymptotic stabilization problem of the constant stationary solutions of a scalar conservation laws with a convex flux, on a compact interval and in the context of entropy solutions. Once again we control the equation through the boundary data and a source term acting uniformly in space. We provide two stationary feedback laws (depending on whether the state to stabilize has critical speed or not) which allow us to prove the global asymptotic stabilization property.Dans cette thèse nous étudierons plusieurs problèmes de la théorie du contrôle portant sur des modèles non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Dans le chapitre un, nous étudions l'équation de Camassa-Holm sur un intervalle compact de R. Après avoir introduit de bonnes conditions aux bords et une notion de solution faible, nous montrons un théorème d'existence et un théorème d'unicité fort-faible pour le problème mixte. Dans une seconde partie nous fournissons une loi de retour pour les données aux bords qui nous permet de stabiliser asymptotiquement l'état stationnaire naturel de l'équation.\par Dans le chapitre deux, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte d'une loi de conservation scalaire à flux convexe, posée sur un intervalle compact et dans le cadre des solutions entropiques. On fournit des conditions suffisantes sur des fonctions de BV pour qu'elles soient atteignables en temps arbitraire depuis n'importe quelle donnée initiale. On contrôle l'équation via les données aux bords et aussi grâce à un terme source agissant uniformément en espace.\par Enfin le chapitre trois est consacré au problème de la stabilisation asymptotique des états stationnaires constants d'une loi de conservation scalaire à flux convexe, posée sur un intervalle compact et dans le cadre des solutions entropiques. On contrôle à nouveau l'équation via les données aux bords et un terme source agissant uniformément en espace. Nous fournissons deux lois de retour stationnaires (suivant que l'état à stabiliser est de vitesse critique ou non) qui nous permettent de montrer la stabilisation asymptotique globale