MODÈLES STOCHASTIQUES INTERAGISSANTS : SYNCHRONISATION ET RÉDUCTION À UN SYSTÈME DE PHASES

The subject of this thesis is the role of noise in interacting systems, with an eye to applications in Biology. This study is based on the Kuramoto model, a model of one-dimensional interacting and noisy rotators which admits a synchronization type transition, and on some of its generalizations. The first part of the thesis (made in collaboration with G. Giacomin, K. Pakdaman and X. Pellegrin) is about the "Active Rotators" model, a generalization of the Kuramoto model in which each rotators has its own inner dynamics, that can be chosen excitable. We prove rigorously that the global system may have a very different behavior from the one of an isolated rotator. In particular noise and interaction may induce periodic behaviors. In the second part (made in collaboration with G. Giacomin and E. Luçon), we study the disordered Kuramoto model, in the limit of vanishing disorder. We show in particular that when the disorder is not symmetric the model admits a periodic solution, and we give an asymptotic of its speed. The third part (made in collaboration with G. Giacomin and L. Bertini) is devoted to the long time behavior of the Kuramoto model : for times proportional to the size of the system the rotators keep a synchronized profile, which performs a Brownian motion at the limit of an infinite population. Finally, in the last part, I study the validity of a phase reduction in the noise induced escape problem, for models close to reversibility.Le sujet de cette thèse est l'étude du rôle du bruit dans les systèmes interagissants, avec en vue des applications dans les systèmes biologiques. Cette étude est basée sur le modèle de Kuramoto, qui est un modèle d'oscillateurs uni-dimensionnels interagissants admettant une transition de phase de synchronisation, ainsi que sur certaines de ses généralisations. Une première partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin, K. Pakdaman et X. Pellegrin) est consacrée au modèle des "Active Rotators", une généralisation du modèle de Kuramoto, dans lequel chaque oscillateur a une dynamique propre, qui est peut être choisie excitable. Nous démontrons de manière rigoureuse que le système global peut avoir une dynamique très différente de celle d'un oscillateur isolé, en réduisant le problème à un problème de phase. On peut en particulier voir l'apparition de phénomènes périodiques. La deuxième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et E. Luçon) est consacrée à l'étude du modèle de Kuramoto bruité, dans la limite du faible désordre. Nous démontrons en particulier, dans le cas où le désordre n'est pas symétrique, l'existence d'une solution périodique et donnons un développement de sa vitesse. La troisième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et L. Bertini) est consacrée au comportement du modèle de Kuramoto en temps long (proportionnel au nombre d'oscillateurs): les oscillateurs conservent un profil synchronisé qui se déplace dans la limite d'une infinité d'oscillateurs suivant un mouvement Brownien. Enfin dans la dernière partie je me suis intéressé à la problématique de réduction de phase dans le cas du problème de sortie de potentiel, pour des modèle proches de la réversibilité