Méthodes polynomiales parcimonieuses en grande dimension : application aux EDP paramétriques

For certain physical phenomenon that are modelled by PDE, the coefficients intervening in the equations are not fixed deterministic functions, but depend on parameters that may vary.Dans certains phénomènes physiques modélisés par des EDP, les coefficients intervenant dans les équations ne sont pas des fonctions déterministes fixées, et dépendent de paramètres qui peuvent varier. Ceci se produit par exemple dans le cadre de la modélisation des écoulements en milieu poreux lorsqu’on décrit le champ de perméabilité par un processus stochastique pour tenir compte de l’incertitude sur ce champs. Dans d’autres cadres, il peut s’agir de paramètres déterministes que l’on cherche à ajuster, par exemple pour optimiser un certain critère sur la solution. La solution u dépend donc non seulement de la variable x d’espace/temps mais aussi d’un vecteur y = (yj) de paramètres potentiellement nombreux, voire en nombre infinis. L’approximation numérique en y de l’application (x,y)-> u(x, y) est donc impossible par les méthodes classiques de type éléments finis, et il faut envisager des approches adaptées aux grandes dimensions. Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et l’approximation numérique des EDP paramétriques en grandes dimensions. Pour une large classe d’EDP avec une certaine dépendance anisotrope en les paramètres yj, on étudie de la régularité en y de l’application u et on propose des méthodes d’approximation numérique dont les performances ne subissent pas les détériorations classiquement observées en grande dimension. On cherche en particulier à évaluer la complexité de la classe des solutions {u(y)}, par exemple au sens des épaisseurs de Kolmogorov, afin de comprendre les limites inhérentes des méthodes numériques. On analyse en pratique les propriétés de convergences de diverses méthodes d’approximation avec des polynômes creux