Sur la contrôlabilité de quelques systèmes de type paraboliques avec un nombre réduit de contrôles et d'une équation de KdV avec dispersion évanescente

This work is devoted to the study of some controllability problems concerning some models from fluid mechanics. First, in Chapter 2, we obtain the local null controllability of the Navier-Stokes system with distributed controls having one vanishing component. The main novelty is that no geometric condition is imposed on the control domain. In Chapter 3, we extend this result for the Boussinesq system, where the coupling with the temperature equation allows us to have up to two vanishing components in the control acting on the fluid equation. Chapter 4 deals with the existence of insensitizing controls for the Boussinesq system. In particular, we prove the null controllability of the cascade system arising from the reformulation of the insensitizing problem, where the control on the fluid equation has two vanishing components. For these problems, we follow a classical approach. We establish the null controllability of the linearized system around the origin by means of a suitable Carleman inequality for the adjoint system with source terms. Then, we obtain the result for the nonlinear system by a local inversion argument.In Chapter 5, we study some null controllability aspects of a linear KdV equation with Colin-Ghidaglia boundary conditions. First, we obtain an estimation of the cost of null controllability, which is optimal with respect to the dispersion coefficient. This improves previous results on this matter. Its proof relies on a Carleman estimate with an optimal behavior in time. Finally, we prove that the cost of null controllability blows up exponentially with respect to the dispersion coefficient provided that the final time is small enough.Ce travail est consacré à l'étude de quelques problèmes de contrôlabilité concernant plusieurs modèles issues de la mécanique des fluides. Dans le Chapitre 2, on obtient la contrôlabilité locale à zéro du système de Navier-Stokes avec contrôles distribués ayant une composante nulle. La nouveauté la plus importante est l'absence de conditions géometriques sur le domaine de contrôle. Le Chapitre 3 étend ce résultat pour le système de Boussinesq, où le couplage avec l'équation de la chaleur permet d'avoir jusqu'à deux composantes nulles dans le contrôle agissant sur l'équation du fluide. Le Chapitre 4 traite l'existence de contrôles insensibilisants pour le système de Boussinesq. En particulier, on montre la contrôlabilité à zéro d'un système en cascade issu du problème d'insensibilisation où le contrôle dans l'équation du fluide possède deux composantes nulles. Pour ces problèmes, on suit une approche classique. On établit la contrôlabilité à zéro du système linéalisé autour de zéro par une inégalité de Carleman pour le système adjoint avec des termes source. Puis, on obtient le résultat pour le système non linéaire par un argument d'inversion locale.Dans le Chapitre 5, on étudie quelques aspects de la contrôlabilité à zéro d'une équation de KdV linéaire avec conditions au bord de type Colin-Ghidaglia. On obtient une estimation du coût de la contrôlabilité à zéro qui est optimal par rapport au coefficient de dispersion. Sa preuve repose sur une inégalité de Carleman avec un comportement optimal en temps. Puis, on montre que le coût de la contrôlabilité à zéro explose exponentiellement par rapport au coefficient de dispersion lorsque le temps final est suffisamment petit