Variétés de modules extrémales de faisceaux semi-stables sur P2(C)

46 pagesInternational audienceSoient r, c1, c2 des entiers, avec r ≥ 1, et M(r,c1,c2) la variété de modules des faisceaux algébriques semi-stables sur ℙ2(ℂ), de rang r et de classes de Chern c1, c2. On dit que M(r,c1,c2) est extrémale sidim (M (r,c1,c2)) > 0 et dim(M (r,c1,c2 - 1)) ≤ 0 .On se donne ici une description de certaines de ces variétés, dites de faible hauteur. Si M(r,c1,c2) est de faible hauteur il existe des fibrés exceptionneles E, G, F, et des entiers q, h, n tels que tout faisceau semi-stable E de rang r et de classes de Chern c1, c2 sur ℙ2 soit isomorphe au conoyau d’un morphisme injectif de faisceauxf : (G ⊗ ℂ^q) ⊕ (F ⊗ ℂ^h ) -→ E ⊗ ℂ^n .On considère l’espace vectorielW = Hom ((G ⊗ ℂ^q) ⊕ (F ⊗ ℂ^h),E ⊗ ℂ^n)et l’action évidente du groupe algébriqueG = [Aut ((G ⊗ ℂ^q ) ⊕ (F ⊗ ℂ^h )) × Aut (E ⊗ ℂ^n )]∕ℂ^*sur W. On définit une notion de (semi-)stabilité pour l’action de ce groupe (en général non réductif), et on montre qu’en associant à un morphisme semi-stable f le faisceau coker(f), on définit un morphismeW^ss -→ M (r,c1,c2) ,(où W^ss est l’ouvert G-invariant des points semi-stables) qui est un bon quotient de W^ss par G