Sur le monoïde de L* lorsque L est un langage fini

International audienceWe prove that for every finite monoid M, there exists a finite language L so that M divides the syntactic monoid of L*. Moreover, one can choose for L a full finite prefix code. The same result for a finite group has already been proved by Schützenberger. This result is crucial in the proof of the J.-F. Perrot's theorem that the only variety closed under star operation is the variety of all rational languages.Nous montrons que pour chaque monoïde fini M, il existe un langage fini L tel que M divise le monoïde syntactique de L*. De plus, on peut choisir pour L un code préfixe complet fini. Le résultat correspondant pour les groupes finis avait déjà été prouvé par Schützenberger. Notre résultat est un élément essentiel de la démonstration du théorème de J.F. Perrot qui énonce que la seule variété fermée pour l'opération étoile est la variété de tous les langages rationnels