Calcul formel dans la base des polynômes unitaires de Chebyshev

We propose a set of simple and fast algorithms for evaluating and using trigonometric expressions in the form F=∑^{d}_{k=0} f_{k}cos(kπ/n), f_{k}∈ℤ where d≺n fixed. We make use of the monic Chebyshev polynomials as a basis of ℤ[x]. We can perform arithmetic operations (multiplication, division, gcd) on polynomials expressed in a Chebyshev basis (with the same bit-complexity as in the monomial basis), compute the sign of F, evaluate it numerically and compute its minimal polynomial in ℚ[x]. We propose simple and efficient algorithms for computing the minimal polynomial of 2cos(kπ/n) and also the cyclotomic polynomial Φ_n. As an application, we give a method to determine the Chebyshev knot's diagrams C(a,b,c,φ) : x=T_a(t), y=T_b(t), z=T_c(t+φ) which allows to test if a given curve is a Chebyshev knot, and point out all the possible Chebyshev knots coressponding a fixed triple (a,b,c), all of these computings can be done with a good bit complexity.Nous proposons des méthodes simples et efficaces pour manipuler des expressions trigonométriques de la forme F = Pd k=0 fk cos kπ/n, fk ∈ ℤ où d < n fixé. Nous utilisons les polynômes unitaires de Chebyshev qui forment une base de ℤ[x] avec laquelle toutes les opérations arithmétiques peuvent être exécutées aussi rapidement qu’avec le base de monômes, mais également déterminer le signe et une approximation de F, calculer le polynôme minimal de F. Dans ce cadre nous calculons efficacement le polynôme minimal de2 cos π/n et aussi le polynôme cyclotomique φn. Nous appliquons ces méthodes au calcul des diagrammes de nœuds de Chebyshev