Holomorphie discrète et modèle d'Ising

Président: Robert P. LANGLANDS Rapporteurs Yves COLIN de VERDIERE, Marcus SLUPINSKI, Jean-Bernard ZUBERMy thesis generalizes the notion of criticality for the Ising model in two dimensions and defines a newtheory of discrete holomorphic functions on a cellular decomposition of a Riemann surface. The Ising model converges in the thermodynamical limit to a continuous conformal field theory, on square or triangular lattices near the critical temperature. We extend criticality to more general cellular decompositions. The key point is to double the decomposition, and to consider its dual. We define holomorphy with respect to a given metric by a straightforward discretization of the Cauchy-Riemmann equation. Classical theorems still hold and are proved essentially the same way (Dirichlet principle): harmonicity, explicit abelian differentials, poles, residue theorem. There are differences: pointwise product doesn't preserve holomorphy, poles of higher orders are {\sl multipoles} of order one; the dimension of the space of abelian differentials is twice the genus. We define the notion of semi-criticality, needed to define, given a discrete holomorphic function $f$ and a local map Z, a discrete closed $1$-form $fdZ$, it is holomorphic, on critical maps. This class contains lattices but much more. The continuous limit of a convergent sequence of discrete holomorphic functions on a converging sequence of semi-critical maps, is a holomorphic function. We apply this theory to the Ising model. In the case of square, triangular and hexagonal lattices, we prove that our criticality is equivalent to statistical criticality, lengths and coupling constants being related. On every map, we setup a discretized version of the Dirac equation without mass and the existence of a solution is equivalent to criticality. Using this solution, we contract the spinor into holomorphic and anti-holomorphic parts on any critical map, exhibiting the existence of the analogue of discrete conformal blocks.Ma thèse généralise la notion de criticité pour le modèle d'Ising en dimension 2. J'y définis une nouvelle notion d'holomorphie discrète sur une décomposition cellulaire d'une surface de Riemann. Le modèle d'Ising converge, à la limite thermodynamique vers une théorie conforme continue, quand la limite est prise sur un réseau (carré, triangulaire), près de la température critique. J'étends cette criticité à des décompositions cellulaires générales et je décompose le spineur en parties holomorphes et antiholomorphes discrètes, analogues discrets des blocs conformes. On définit une équation de Cauchy-Riemann discrète sur le double d'une décomposition cellulaire. Des théorèmes classiques sont encore transposables: harmonicité, base des différentielles, pôle, théorème des résidus. Il y a des différences, le produit point par point ne préserve pas l'holomorphie, les pôles sont d'ordre un, l'espace des formes holomorphes est de dimension double du genre. On définit une carte comme étant semi-critique si d'une fonction holomorphe discrète $f$ et d'une carte locale plate $Z$ on peut faire une $1$-forme fermée $fdZ$ et critique si $fdZ$ est holomorphe. Cette classe contient les réseaux mais bien plus. Une suite convergente de fonctions holomorphes discrètes sur une suite convergente de cartes critiques a pour limite une fonction holomorphe sur la surface de Riemann. Dans le cas des réseaux triangulaires et carrés, on démontre que la criticité statistique d'Ising équivaut à notre criticité pour une structure conforme reliée aux constantes d'intéraction. On définit une équation de Dirac sans masse, l'existence d'une solution équivaut à la criticité. Le spineur de Dirac permet alors de décomposer le fermion d'Ising en une partie holomorphe et une partie antiholomorphe