Generalisation de la theorie arithmetique des D-modules a la geometrie logarithmique

Rapporteurs : Francesco Baldassarri (Padoue, Italie) et Luc Illusie (Orsay, France). Membres du jury : Michel Gros (Rennes 1) et Bernard Le Stum (Rennes 1).This work aims at generalizing the arithmetic theory of D-modules to logarithmic geometry. We first define sheaves of differentials operators of level m. We describe those sheaves D(m) in local coordinates in the log-smooth case, just as Berthelot did in the non-logarithmic case. Then we study the action of the Frobenius homomorphism on D(m)-modules, and show that F* makes the level raise. Nevertheless, the descent theorem proved by Berthelot for usual schemes is not true in general for log-schemes. Thus we use the work by Lorenzon, which associates a canonical algebra A to a log-scheme, and we get an equivalence of categories between A x D(m) -modules and B x D(0) -modules (indexed). Finally we deduce from this equivalence that the cohomological dimension of D(m) is finite, when X is a smooth scheme over a field, and M is defined by a divisor with normal crossings.L'objectif de cette these est d'etendre la theorie arithmetique des D-modules a la geometrie logarithmique. Nous commencons par definir les faisceaux d'operateurs differentiels de niveau m. Nous donnons une description de ces faisceaux D(m) et de leur structure en coordonnees locales dans le cas log-lisse, analogue a celle obtenue par Berthelot dans le cas non logarithmique. Nous etudions ensuite l'action du morphisme de Frobenius sur les modules sur ces faisceaux d'anneaux. Nous montrons tout d'abord que F* induit une elevation du niveau. Le theoreme de descente demontre par Berthelot pour les schemas usuel est par contre en defaut dans le cadre logarithmique. Nous reprenons donc les travaux de Lorenzon, qui associe a un log-schema une algebre canonique A, et nous etablissons une equivalence de categories entre A x D(m) -modules et B x D(0) -modules (indexes). Nous deduisons de cette equivalence de categories la finitude de la dimension cohomologique des faisceaux D(m), lorsque le schema X est lisse sur un corps, et M est defini par un diviseur a croisements normaux