Convergence de schémas volumes finis pour des problèmes de convection diffusion non linéaires

MARC DURAND, Professeur UNIVERSITÉ DE PROVENCE, PRÉSIDENT. FAYSSAL BENKHALDOUN, Professeur, UNIVERSITÉ PARIS 13 EXAMINATEUR. YANN BRENIER, Profeseur détaché C.N.R.S., RAPPORTEUR. MICHEL CROUZEIX, Professeur, UNIVERSITÉ DE RENNES, RAPPORTEUR. ROBERT EYMARD, Professeur, UNIVERSITÉ DE MARNE LA VALLÉE. RAPHAÈLE HERBIN, Professeur, UNIVERSITÉ DE PROVENCE.The main subject of this report is the mathematical study of finite volume schemes for problems of two phase flow in porous media. These problems are often called ``convection dominated problems''. The first part concerns the numerical approximation of degenerate hyperbolic parabolic equations by a finite volume method. In Chapter 1, Chapter 2 and Chapter 3, We study the convergence of the scheme and in Chapter 4, we present numerical results. The second part of this report concerns the study of two numerical methods for a simplified model of two phase flow in porous media. For the first scheme also called ``schéma des mathématiciens'', we transform the coupled system in an equivalent system of two equations, a parabolic equation on the saturation and an elliptic equation on the pressure coupled by the convective term. The second scheme is a phase by phase upwinding finite volume scheme which is used in petroleum industry. We study the convergence of the schemes and we make a comparison between the two methods by using numerical experiments.Ce mémoire est centré autour de l'analyse numérique de schémas volumes finis pour un modèle simplifié d'écoulement de deux fluides incompressibles en milieu poreux. Ces phénomènes sont souvent qualifiés de phénomènes de convection diffusion à convection dominante (``convection dominated problems'' en anglais). La première partie du mémoire est consacrée à l'approximation numérique d'équations paraboliques hyperboliques faiblement ou fortement dégénérées. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude de la convergence de schémas volumes finis. Le dernier chapitre est consacré à l'analyse des résultats numériques obtenus. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieu poreux par deux schémas différents. Le premier schéma dit ``des mathématiciens'' est basé sur la réécriture du système étudié sous la forme d'une équation parabolique hyperbolique sur la saturation et d'une équation elliptique sur la pression, ces deux équations étant couplées par le coefficient de diffusion. Le second schéma dit schéma ``des pétroliers'' est une méthode numérique utilisée en pratique dans l'industrie pétrolière. Les deux schémas sont analysés séparément et ils sont ensuite comparés numériquement