Modélisation des instabilités liées au frottement sec des solides élastiques, aspects théoriques et numériques

A first part present a bibliographical study on the modelization of dry friction, where different laws of friction, results on elastic problem with those laws and some links with micro-mechanical models are introduced. A second part deals with the analysis of a dynamical model : the sliding with Coulomb friction and a slip velocity dependent coefficient of a parallelepiped linearly elastic in unilateral contact with a flat rigid foundation. The framework of differential inclusions is introduced, including theoretical and numerical analysis results. This framework allows the mathematical study of finite degrees of freedom systems in a rigorous way. The latter give a first look of the instabilities due to the friction. After that, a one dimensional model is considered. Existence and uniqueness results are proven when the friction coefficient is monotonous. If it is not, generally there is a infinite number of solutions. The introduction of a perturbed friction condition, which is equivalent to the addition of a slight surface mass on the contact boundary, allows to regain the uniqueness. In a more restrictive framework, it is proven that a particular solution of the initial problem is approached when the perturbation parameter goes to zero. This solution is compared with the one selected by an already known criterion, called perfect delay criterion. At last, numerical schemes and stability and convergence results are also presented. Concerning the problem in dimension two or three, we present a numerical scheme based on an alternating direction method, and on the perturbed friction condition. Significant numerical simulations are shown.Ce travail comporte deux parties. La première partie est une étude bibliographique sur la modélisation du frottement sec et sur les différentes lois de frottement qui ont été introduites pour rendre compte des instabilités du mouvement des solides soumis à la friction sèche. La deuxième partie est une étude théorique et numérique d'un problème modèle dynamique où une lois de type Coulomb avec coefficient de frottement dépendant de la vitesse de glissement est appliquée à un solide élastique. Le cadre des inclusions différentielles est introduit pour traiter rigoureusement les modèles à nombre fini de degré de liberté et à pression de contact imposée. Ce cadre sert ensuite à l'analyse en détail d'un problème unidimensionnel d'une couche élastique glissant avec frottement sur une fondation rigide plane. On montre l'existence et l'unicité de la solution lorsque le coefficient de frottement est croissant, mais lorsque celui-ci comporte au moins une portion décroissante, ce qui est le cas dans la plupart des modélisation, on montre que le problème admet en général une infinité de solutions. Cela amène à considerer un critère de choix de solution appelé critère de retard maximal. Par ailleurs, on introduit une condition de frottement perturbée qui consiste en l'ajout d'une masse de surface et qui redonne aussi l'unicité de la solution. On montre le lien entre le critère de retard maximal et cette condition perturbée. On présente aussi des schémas numériques, des résultats de stabilité et de convergence, ainsi que des expériences numériques. On donne enfin des perspectives pour les problèmes en dimension deux ou trois. On présente des simulations numériques significatives, obtenues à l'aide d'un schéma numérique basé sur une méthode de type directions alternées, et sur la perturbation par une masse de surface