Etude algébrique et algorithmique des singularités des équations différentielles implicites

The set of solutions of an algebraic differential equation splits into the general solution and the singular solutions. These two concepts are given a precise meaning in the setting of differential algebra, a theory initiated by J.F.Ritt. Recent progresses in that field have brought effective algorithms that decide of the triviality of a differential system and provide a first decomposition of the set of solutions. We can thus determine if a differential equation admits any singular solutions and describe those. The decompositions there obtained are nonetheless not minimal. In this memoir, we propose a factorization free algorithm that eliminates the redundant components. The analytic interpretation is that we split the set of singular solutions into the singular solutions that are envelopes of the general solution and the singular solutions which are the limits of some other solutions. are envelopes of the general solution and the singular solutions which are the limits of some other solutions. The crux of the algorithm lies in the Low power theorem, while the effective implementation is based on the Rosenfeld-Gröbner algorithm. We furthermore present an algorithm and some criteria to compute the differential bases of the essential components of a differential equation. Such bases allow an analysis of singularities and integration heuristics.L'ensemble des solutions d'une équation différentielle algébrique, ordinaire ou aux dérivées partielles se scinde entre la solution générale et les solutions singulières. Ces notions peuvent être définies de manière rigoureuse dans le cadre de l'algèbre différentielle, une théorie fondée par J.F.Ritt. Des travaux récents dans ce domaine ont permis de mettre au point des algorithmes effectifs pour déterminer la trivialité d'un système différentiel en effectuant une première décomposition. On peut ainsi déterminer si une équation différentielle admet des solutions singulières et quelles sont elles. Les décompositions obtenues ne sont néanmoins pas minimales. Nous proposons un algorithme, qui évite les factorisations, pour éliminer les composantes redondantes. En termes analytiques, il s'agit de distinguer les solutions singulières essentielles, qui sont enveloppes de la solution générale, des solutions singulières particulières, qui sont limites de solutions essentielles. la solution générale, des solutions singulières particulières, qui sont limites de solutions essentielles. Au c\oe ur de cette détermination se tient le Théorème des petites puissances, la réalisation effective étant soutenue par l'algorithme Rosenfeld-Gröbner. Nous présentons de plus un algorithme et quelques critères qui permettent de calculer les bases différentielles des composantes essentielles. De telles bases permettent une analyse des points singuliers ainsi que des heuristiques d'intégration